제한 없는 공간 변화 반확산 계수를 가진 Kuramoto--Sivashinsky 방정식의 급속 Fredholm 안정화

우리는 공간적으로 변화하는 반확산(anti-diffusion) 계수를 가진 Kuramoto--Sivashinsky 방정식을 급속하게 안정화하기 위한 최초의 피드백 설계를 개발했습니다. 상수 계수의 경우, Coron과 Lü (2015)가 제시한 단일 입력 Fredholm 설계는 반복적인 불안정 고유값(unstable eigenvalues)이 제어 가능성 손실을 유발하는 이산적인 값들의 집합을 제외합니다. 우리는 두 번째 경계 입력을 도입하고 두 입력에 서로 다른 역할을 할당함으로써 이러한 장애물을 극복했습니다. Heymann의 보조정리(Heymann's Lemma)에서 영감을 받은 핵심 아이디어는 경계값 $u(0,t)$를 전반 피드백(pre-feedback)에 완전히 사용하여 곡률 입력 $u_{xx}(0,t)$을 통해 수정된 플랜트(modified plant)가 제어 가능하도록 만드는 것입니다. 이후 후자의 입력은 Fredholm 백스텝핑 변환(Fredholm backstepping transformation)을 통해 플랜트를 안정화합니다. 우리는 두 개의 입력이 제어 가능성에 충분하며, 플랜트가 불안정한 이중 고유값(unstable double eigenvalue)을 가질 때 필수적임을 보여줍니다. 하지만, Fredholm 커널은 여전히 구현을 위해 근사되어야 합니다. 따라서 커널 및 게인 근사를 가능하게 하기 위해, 우리는 콤팩트한 허용 설계 클래스(compact admissible design classes)에서 계수-게인 설계 사상(coefficient-to-gain design map)의 연속성을 증명합니다. 순차적 근사(successive approximations)를 사용하는 Volterra 기반 연속성 증명과 달리, 우리의 증명은 모드 표현(modal representation)을 사용하여 스펙트럼 데이터, 역 계수 시스템(inverse coefficient system), 그리고 커널 및 게인 급수의 꼬리 부분(tails)을 제어합니다. 이는 클래스 전반에 걸쳐 임의로 지정된 $L^2$ 정확도에 도달하는 하나의 신경 연산자 근사(single neural operator approximation)를 산출합니다. 마지막으로, 우리는 정확한 게인과 충분히 정확한 근사치 모두 하에서 비선형 폐루프 시스템의 급속 국소 안정화(rapid local stabilization)를 확립합니다. 결론적으로, 우리는 지정된 감쇠율과 근사의 계산 비용을 보여주는 수치적 결과를 제시합니다. 특히, 불안정한 이중 고유값을 가진 플랜트를 포함하여 테스트된 모든 제외 사례(held-out cases)를 안정화하는 약 $0.1$%의 전형적인 상대 게인 오차를 달성하는 푸리에 신경 연산자(Fourier neural operator)를 훈련했습니다.