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제가 이런 비디오 중 하나를 만들 때면, 애니메이션 과정에서 수많은 작은 기술적 퍼즐을 푸는 특별한 순간이 있을 때가 있습니다.
그리고 제가 설명하려는 근본적인 수학 개념이 화면에 살아 움직이는 것을 보고 나면, 이전과는 다르게 저에게 '딸깍'하고 이해되는 순간이 오곤 합니다.

그런 순간들이 종종 이 비디오가 제가 가장 좋아하는 작품 중 하나가 될 것임을 알려주곤 하는데, 바로 이 부분의 마무리를 구성할 때 그런 느낌을 받았습니다.

저희 이야기는 사실 오늘날 수학 교실에서 시작되지 않습니다.
예술실에서 시작합니다.

갤러리에 서서 항구에 있는 배 그림을 바라보고 있다고 상상해 보세요. 그리고 시선이 위쪽과 오른쪽으로 이동하면서, 이 강변에 마을이 보이는 곳으로 세상 전체가 왜곡됩니다.

빽빽하게 모여있는 건물들 사이에서도, 시선이 아래로 한 건물 입구로 옮겨지면서, 예술 작품으로 가득 찬 복도로 이어질 때 세상은 더욱 왜곡됩니다.

그리고 이 복도의 끝에서, 여러분은 다시 배 그림을 응시하고 있습니다.

이것은 M.C. 에셔(M.C. Escher)의 1956년 석판화인 '프린트 갤러리(The Print Gallery)', 또는 네덜란드어로 'Prentendentunstelling'입니다.

그가 아들에게 보낸 편지에서, 자신을 특징으로 하는 판화를 흥미롭게 바라보는 젊은 남자를 창조하는 것에 대해 설명하면서 에셔는 이것을 자신이 해본 것 중 가장 기이한 것이라고 불렀는데, 이는 그에게 있어 많은 것을 의미합니다.

에셔의 예술은 전 세계적으로 사랑받고 있으며, 종종 역설적인 주제나 어떤 종류의 캐릭터를 가진 독특하게 만족스러운 기하학적 패턴을 특징으로 합니다.

이러한 사랑은 특히 수학자들 사이에서 두드러지게 나타나는데, 에셔 자신이 이 분야에 정식 훈련을 받은 적이 없음에도 불구하고 그의 예술이 종종 놀라울 정도로 깊은 수학 개념들을 건드리기 때문입니다.

'프린트 갤러리'는 이러한 예상치 못한 깊이를 보여주는 완벽한 예시를 제공합니다.

2003년, 수학자 De Smit와 Lenstra는 이 작품에서 실제로 어떤 일이 일어나고 있는지, 그리고 Escher가 구현해낸 정신을 아득하게 만드는 자기 완결적 루프 (self-contained loop)에 대해 즐거운 분석을 제공했습니다. 이 영상의 주요 목표 중 하나는 그들의 분석을 시각적으로 풀어내는 것이며, 언제나 그렇듯 여러분이 이 사실을 스스로 재발견할 수 있었다는 느낌을 주는 것을 목표로 합니다. 이 분석에서 예상치 못하게 튀어나온 결과물 중 하나는, 이 그림의 중앙에 정확히 무엇이 들어가야 하는가라는 질문에 대한 답입니다.

처음에는 이것이 앞뒤가 맞지 않는 질문처럼 들릴 수도 있습니다. 오른쪽 상단에서 접근하면 마을의 건물들이 보여야 할 것 같지만, 왼쪽에서 접근하면 그림 프레임의 일부처럼 보입니다. 하지만 아래쪽에서 접근하면 갤러리 자체의 일부인 것이 더 적절해 보입니다. 이 전체 장면에서 당신이 정확히 어디에 있는지에 대한 모든 모호함이 중앙의 빈 원 안에 압축되어 있습니다.

그리고 재미 삼아, 우리가 2020년대를 살고 있는 만큼, 확산 모델 (diffusion model)이 이 부분을 채우도록 시도해 보았습니다. 당연하게도, 모델은 엄청나게 고전합니다. 모델은 이를 전혀 이해하지 못합니다. 물론 불쌍한 기계에게 공을 돌리자면, 고전하는 것이 당연합니다. 이 부분은 본질적으로 모호하고 정의가 불분명한 장면처럼 느껴지기 때문입니다. 그럼에도 불구하고, 영상이 끝날 때쯤이면 여러분도 끼워 맞출 수 있는 단 하나의 올바른 퍼즐 조각 같은 완성형이 존재한다는 점에 동의하시리라 믿습니다.

수학적 내용으로 들어가기 전에, Escher가 실제로 이 작품을 어떻게 만들었는지에 대해 세 가지 단계로 나누어 순수하게 직관적인 설명을 드리고자 합니다. 첫 번째 단계는 한 남자가 그림을 보고 있는 동일한 일반적 개념의 직선화된 버전에서 시작하는 것입니다. 그 그림에는 항구가 있고, 항구에는 마을이 있으며, 마을에는 프린트 갤러리가 있고, 그 안에는 다시 동일한 남자가 있는 식으로 계속해서 이어집니다. 여러분은 원하는 만큼 영원히 확대해 들어갈 수 있습니다.

그림이 그 안에 스스로를 포함하고 있는 이러한 자기 유사적 (self-similar) 이미지라는 개념은 그래픽 디자이너들에게 특별한 이름으로 알려져 있습니다.
이것은 브랜딩에 이 효과를 사용했던 한 코코아 회사의 이름을 따서 드로스테 효과 (Droste effect)라고 불립니다. 사실, 이것은 20세기 초의 온갖 종류의 제품들에 사용되었던 다소 흔한 마케팅 기법이었던 것으로 보입니다.
하지만 에셔 (Escher)가 사용한 이 자기 유사적 드로스테 이미지는 이들 중 그 어떤 것보다 훨씬, 훨씬 더 깊은 줌 (zoom)을 포함하고 있으며, 자기 유사적 복사본이 원본보다 256배 더 작습니다. 그 숫자가 어디에서 왔는지는 잠시 후에 알게 될 것입니다.
에셔의 천재성은 그림이 그 안에 중첩되어 있다는 이 개념을 어떻게든 직관적으로 깨달아, 관찰자의 시선이 원을 따라 움직임에 따라 줌 인 (zooming in)이 암시적으로 일어나는 이 왜곡된 루프 (loop)로 변환할 수 있는 방법이 반드시 있을 것이라고 생각했다는 점에 있습니다.
참고로, 제가 이 정돈된 버전을 어디서 구했는지 궁금하실 수도 있는데, 정답은 제가 언급했던 그 두 수학자가 관대하게 사용을 허락해 주었다는 것입니다. 이것은 그들이 두 명의 네덜란드 예술가인 한스 리히터 (Hans Richter)와 자클린 호프스트라 (Jacqueline Hofstra)의 도움을 받아 에셔의 원작으로부터 실제로 역공학 (reverse engineered)한 결과물입니다.
그들이 이를 역공학한 방식은 실제로 매우 흥미롭습니다. 어떤 의미에서 말하자면, 이는 원본 작품의 로그 (logarithm)를 취하는 과정을 포함합니다. 아마 지금 이 문장이 말도 안 되는 소리처럼 들릴 수도 있겠지만, 이 영상의 뒷부분에서 그것이 아주 명확하게 이해될 것이라고 약속합니다.
에셔가 어떻게 이 루프를 만들었는지에 대한 기본 개념을 개괄하기 위해, 그가 작업했던 것보다 더 단순한 예시를 사용하고자 합니다. 그래서 여기 파이 생명체가 자신이 살고 있는 집의 액자 사진을 바라보고 있는, 맞춤형 자기 유사적 드로스테 이미지를 띄워보겠습니다. 이 예시에서는 자기 유사적 복사본이 원본보다 단 16배만 작기 때문에, 모든 것을 한눈에 훨씬 더 쉽게 파악할 수 있습니다.

제가 하려는 것은 여기에 별도의 작업 공간을 오른쪽에 유지하며 우리가 염두에 두고 있는 일반적인 목표를 스케치하는 것입니다. 이를 생각하는 방식은, 그 16배의 확대 계수 (zoom-in factor)를 정사각형의 네 모서리에 분산시키고 싶다고 생각하면 됩니다. 예를 들어, 파이 생물 (pie creature) 자체가 왼쪽 하단 모서리에 거의 같은 크기로 나타나기를 원한다고 가정해 봅시다. 그런 다음 원본에서 2배만큼 확대한다면, 그 확대된 버전의 왼쪽 상단에 있을 내용을 가져와 우리 작업 공간의 왼쪽 상단에 배치할 것입니다. 마찬가지로, 다시 2배를 확대하고 그 확대된 버전의 오른쪽 상단을 가져와서, 이제 그 확장된 버전을 우리 작업 공간의 오른쪽 상단에 배치합니다. 마지막으로 한 단계 더 나아가, 다시 2배를 확대하고, 그 확대된 버전의 오른쪽 하단에 있는 것을 가져와 크게 키운 뒤, 우리 작업 공간의 오른쪽 하단에 배치합니다. 이 네 개의 잘라낸 모서리들은 우리가 여기서 무엇을 만들고자 하는지에 대한 대략적인 아이디어를 제공합니다. 이들 사이의 간극을 채울 매끄러운 방법을 찾을 수만 있다면, 관찰자의 시선이 이 이미지의 원을 따라 돌아다닐 때, 그들이 보는 것은 16배 더 작은 이미지의 자기 유사적 (self-similar) 부분과 우아하게 연결될 때까지 계속해서 확대되고, 확대되고, 또 확대될 것입니다. 우리는 단순히 이 모든 것을 천진하게 연결하려고 시도할 수도 있습니다, 예를 들면 이런 식으로 말이죠. 하지만 솔직히 말해서 그렇게는 별로 좋아 보이지 않으며, 에셔 (Escher)가 성취해낸 것만큼 매끄럽고 우아하지도 않습니다. 따라서 우리에게는 아직 해야 할 작업이 남아 있습니다. 참고로 제가 뒤적거리고 있는 이 책, 'M.C. 에셔의 마법 (The Magic of M.C. Escher)'은 제가 헤이그 (The Hague)에 있는 에셔 박물관 (Escher Museum)을 즐겁게 방문했을 때 얻은 것입니다. 만약 네덜란드에 가실 일이 있다면 강력히 추천합니다. 그리고 우리가 판화 갤러리 (print gallery)에 관한 섹션으로 넘어가면, 에셔의 실제 프로세스가 무엇이었는지에 대해 살짝 엿볼 수 있습니다. 그에게 있어 2단계는 이 왜곡된 격자 (warped grid)를 만드는 것이었습니다.

여기 애니메이션을 위해, 저는 그 격자(grid)를 약간 수정한 버전을 불러올 것입니다. 이 수정된 버전은 생성하기에 수학적으로 조금 더 수월할 뿐, 동일한 핵심 포인트를 보여줍니다.

그의 경우, 그가 작업하던 자기 유사적 (self-similar) 드로스테 (Droste) 이미지는 256의 스케일링 인자 (scaling factor)를 가집니다. 따라서 이를 네 모서리에 분산시키기 위해, 그는 한 모서리에서 다음 모서리로 이동할 때 4의 인자로 스케일링 (scaling) 하는 과정을 포함하게 됩니다.

그의 격자를 자세히 살펴보면, 예를 들어 오른쪽 하단에 있는 정사각형 중 하나를 본다고 가정해 봅시다. 해당 정사각형을 경계 짓는 상단 및 하단 라인을 따라 이미지의 왼쪽 하단으로 이동하면, 동일한 라인들이 이제 4배 더 큰 정사각형을 둘러싸고 있는 것을 확인할 수 있습니다.

마찬가지로, 해당 영역의 작은 정사각형의 좌우를 경계 짓는 라인들을 따라 위로 올라가 보면, 그 라인들은 깔끔하게 4배 더 큰 정사각형 주위에 자리 잡게 됩니다.

즉, 격자는 우리가 원하는 한 모서리에서 다음 모서리로의 스케일링 (scaling)을 일종의 인코딩 (encode) 하고 있는 것입니다.

이제 각 모서리에서 다음 모서리로 2의 인자만큼만 스케일링 (scale up) 하면 되는 우리의 개인 프로젝트를 위해, 우리는 이것의 수정된 버전을 사용할 것이지만 일반적인 아이디어는 동일할 것입니다.

이 격도가 도대체 어디에서 왔는지 자연스럽게 궁금할 수도 있겠지만, 저는 그 질문은 뒤로 미루고 3단계로 건너뛰고 싶습니다. 3단계는 이 격자를 자기 유사적 (self-similar) 드로스테 (Droste) 이미지와 함께 사용하여 어떻게 에셔 (Escher)의 최종 효과를 실제로 만들어낼 수 있는지에 대한 것입니다.

이것이 작동하는 방식은 먼저 원본 이미지 위에 일반적인 정사각형 격자 (square grid)를 배치한 다음, 예를 들어 이 부분을 최종 버전의 이 모서리에 위치시키고 싶다고 가정해 봅시다.

그때 여러분이 해야 할 일은 그 안의 각 작은 정사각형을 가져와서, 왜곡된 (warped) 버전의 격자에 있는 상응하는 작은 정사각형으로 그 내용을 복사하는 것입니다.

그렇게 하면, 원본 격자의 각 인접한 정사각형은 왜곡된 버전의 상응하는 인접한 정사각형으로 가도록 강제되므로, 격자를 따라감으로써 이미지가 어디로 가야 하는지를 계속해서 추적할 수 있습니다.

그리고 왜곡된 버전의 격자선이 왼쪽 하단에서 왼쪽 상단으로 이동함에 따라 두 배의 비율로 간격이 넓어진다는 사실은, 해당 선을 따라 올라갈 때 우리 장면의 스케일(scale)이 그 두 배의 비율로 자동적으로 확대됨을 의미합니다. 이 과정의 아이디어는 예술가로서 하나의 작은 정사각형 안에 있는 내용을 다른 작은 정사각형으로 하나씩 복사해 나가는 것이 비교적 간단하다는 점에 있습니다. 왜냐하면 이 작은 스케일에서는 사물들이 왜곡되지 않기 때문입니다. 이는 눈앞에 빈 페이지만 놓인 상태에서 적절하게 왜곡된 최종 이미지를 상상하고 그려내려고 노력하는 것보다 훨씬, 훨씬 더 쉬운 일입니다. 따라서 기본적으로 이 왜곡된 격자를 손에 쥐고 나면, 각 작은 정사각형을 복사하는 과정은 기분 좋게 자동적으로 이루어지며, 이 자동화된 과정을 전체적으로 실행하게 되면 초기 위치와 깔끔하게 맞물리며 닫히게 됩니다. 이것이 가능하려면 우리의 원본 이미지가 16배 확대했을 때 이러한 자기 유사성 (self-similarity)을 가지고 있어야 합니다.

우리가 얻은 최종 결과물이 꽤 멋지다는 점에 여러분도 동의하시리라 믿습니다. 동일한 전반적인 효과를 재현하면서도, 무엇보다도 에셔 (Escher) 자신의 구성을 더 깊이 감상할 수 있는 계기를 제공한다고 생각합니다. 그는 실제로 모든 뚜렷한 스케일에서의 이미지 선택에 있어 매우 의도적이었습니다. 인용하자면, "나는 벽을 따라 늘어선 판화 한 줄이나 마을의 집 블록과 같이, 의도적으로 연속적인 유형의 사물들을 선택했다"라고 합니다. 순환적인 요소가 없었다면, 무작위의 관람객에게 나의 의미를 전달하는 것이 훨씬 더 어려웠을 것입니다.

직선 형태의 참조 이미지와 왜곡된 격자를 가지고, 이 두 가지를 함께 사용하여 왜곡된 장면을 만드는 이 아이디어는 그래픽 디자인에서 흔히 쓰이는 과정입니다. 이는 메시 워프 (mesh warp)라고 알려져 있으며, 에셔가 이 사례를 위해 발명한 것이 아니라 이전의 다른 작품들에서도 여러 번 사용했던 방식입니다.

우리의 이야기에서 핵심은 Drasta 줌 (zoom)을 루프 (loop)로 변환하는 모든 로직이 이 그리드 (grid)로 추상화되고 정제되었다는 점이며, 이는 자연스럽게 다음과 같은 질문을 던지게 합니다. 이것은 어디에서 오는가? 어떻게 만드는가?

초기 단계의 순진한 접근 방식으로는 한 모서리에서 다음 모서리로 모든 것을 선형적으로 스케일링 (scaling) 하는 것을 상상할 수 있겠지만, 만약 그렇게 즉시 실행했다면 충돌을 목격했을 것입니다.

이 두 가지 스케일링 (scaling) 프로세스는 개별 사각형에 서로 다른 압력을 가하게 됩니다. 예를 들어, 이 사각형은 오른쪽에서 줌 인 (zooming in) 함에 따라 이 방향으로 펼쳐지기를 원하는 동시에, 위로 올라감에 따라 줌 아웃 (zooming out) 함에 따라 저 방향으로도 펼쳐지기를 원합니다.

에셔 (Escher)는 분명 이 긴장감을 완화하기 위해 모든 선을 곡선화함으로써 이를 해결하고자 했습니다.

하지만 그가 따랐던 것으로 보이는 또 다른 결정적인 제약 조건이 하나 더 있습니다. 이는 아마도 이미지 전이 (image transfer) 프로세스를 더 쉽게 만들었을 것이며, 최종 결과물을 더 자연스럽게 보이게 했을 것이고, 복소해석학 (complex analysis)에 몰두하는 수학자라면 누구나 즉시 귀를 쫑긋 세울 만한 것입니다.

그의 최종적인 워프된 (warped) 그리드에서, 작은 사각형들은, 음, s