에이전트 기반 심볼릭 탐색 (Agentic Symbolic Search): 수작업으로 만든 표현식, 메쉬(Mesh), 그리고 신경망을 넘어선

수학자들은 계산된 값의 표보다는 수학적 구조를 통해 PDE(편미분 방정식) 해를 이해합니다. 역사적으로 이는 각 문제에 대해 개별적으로 수작업을 통해 수행된 수학적 분석의 결과물이었습니다. 수치 시뮬레이션(Numerical simulation)이나 신경망(Neural networks) 모두 이러한 구조를 직접적으로 생성하지는 못합니다. 우리는 에이전트가 PDE 이론, 공개된 문제 제약 조건, 그리고 축적된 탐색 경험을 테스트 가능한 미분 가능한 심볼릭 프로그램(Symbolic programs)으로 변환하는 사전 가이드 프레임워크인 에이전트 기반 심볼릭 탐색 (Agentic Symbolic Search, ASYS)을 제안합니다. 수학적 형태는 진화적 탐색(Evolutionary search) 하에서 정제되는 한편, 그 연속적인 파라미터들은 경사 하강법 기반 최적화(Gradient-based optimization)를 통해 피팅됩니다. 이는 탐색을 맹목적인 심볼릭 회귀(Symbolic regression)가 아닌, 귀납적 편향(Inductive-bias) 주입의 자동화된 형태로 만듭니다. 분석적 형태가 알려진 문제의 경우, ASYS는 이러한 형태를 자연스럽게 복구합니다. 다른 문제의 경우, ASYS는 수학자들이 추가적인 분석을 수행할 수 있도록 안내할 수 있는 분석적 근사치(Analytical approximations)를 구축합니다. 유계 역학(Bounded dynamics), 유한 시간 폭발(Finite-time blow-up), 자유 경계 집중(Free-boundary focusing)을 아우르는 5가지 문제에 대한 실험에서, ASYS는 이전에 폐쇄형(Closed-form) 설명이 불가능했던 설정에서도 Allen-Cahn 2D 역학을 위한 기하학적 인터페이스 공식과 Keller-Segel 화학 주성(Chemotactic) 폭발을 위한 9개 파라미터 수축 법칙을 포함하여 해석 가능한 표현을 생성합니다. ASYS는 수작업으로 만든 분석적 해, 메쉬(Mesh) 기반의 수치 해, 그리고 신경망 근사를 넘어 PDE 해를 특성화하는 새로운 패러다임의 가능성을 보여줍니다.