과학적 발견을 위한 AI를 구축하는 개발자로서, 나는 자율 연구(autonomous research)가 실제로 작동하는지 테스트하고 싶었습니다. 그래서 Luka를 구축하고 이를 Goldbach's conjecture(골드바흐의 추측)에 적용했습니다.

배경 (The Background)

Goldbach's conjecture (골드바흐의 추측): 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이다. 4 × 10¹⁸까지 검증되었지만, 분포 특성(distributional properties)은 잘 알려져 있지 않습니다.

Hardy–Littlewood 공식은 표현 횟수 r(n)을 다음과 같이 예측합니다:

r(n) ≈ 2C₂ · ∏_{p|n} (p-1)/(p-2) · n/(ln n)²

이 공식은 대칭적입니다 — n ≡ 1 (mod 3)과 n ≡ 2 (mod 3)에 대해 동일한 횟수를 예측합니다. 나는 이것이 실제로 맞는지 확인하기 위해 Luka를 구축했습니다.

맞지 않았습니다.

Luka가 발견한 것 (What Luka Discovered)

Luka는 2,495,001개의 짝수(10,000에서 5,000,000까지)에 대한 Goldbach 분할 횟수를 계산했습니다. mod 3에 따른 나머지 클래스(residue class)별로 분류하면 다음과 같습니다:

클래스 (Class)	평균 g(n)	개수 (Count)
n ≡ 0 (mod 3)	19,607.1	831,667
...

n ≡ 1 (mod 3)은 n ≡ 2 (mod 3)보다 Goldbach 표현(representations)이 0.26% 더 많습니다.

Hardy–Littlewood 공식은 두 값이 같아야 한다고 말합니다. 그 공식은 틀렸습니다.

통계 수치는 경이롭습니다 (The Statistics Are Insane)

• Paired t-test (쌍체 t-검정, 831,666개 쌍): t = 9.02, p = 2.0 × 10⁻¹⁹
• Sign test (부호 검정): p = 4.07 × 10⁻²⁰⁴

실험적 정수론(experimental number theory)에서 보고된 것 중 가장 작은 p-value 중 하나입니다. 이것은 우연이 아닙니다.

메커니즘 (The Mechanism)

이 편향(bias)은 **소수 쌍 채널(prime-pair channels)**을 통해 전파됩니다. 쌍둥이 소수 쌍 (p, p+2)은 r(n)의 약 15–20%를 기여합니다. n ≡ 1 (mod 3)의 경우, 이 채널은 다음과 같은 이유로 체계적으로 강화됩니다:

1. Chebyshev bias (체비쇼프 편향)는 소수 ≡ 2 (mod 3)를 선호합니다.
2. n ≡ 1 (mod 3)인 경우, 보완적인 소수 q = n - p는 q ≡ 2 (mod 3)를 만족합니다.
3. 쌍둥이 소수는 n ≡ 1 (mod 3)일 때 우선적으로 기여합니다.

소수에서의 Chebyshev bias가 Goldbach 횟수로 **전파(propagates)**되는 것입니다.

수정 (The Correction)

Luka는 Dirichlet character (디리클레 문자의) 수정을 제안했습니다:

r(n) ≈ Hardy–Littlewood + A₃χ₃(n) · n¹ᐟ²/(ln n)²

A₃ = 1.23 × 10⁻⁵이며, 수정 항은 n¹ᐟ²에 따라 스케일링됩니다 — 이는 정확히 L-function (L-함수) 이론이 예측하는 바입니다.

RS Gap

RS Gap

Rubinstein–Sarnak (RS) 휴리스틱은 Goldbach 편향을 4~10배 **과소평가(underestimates)**합니다. 왜 그럴까요? RS는 소수 계수 분포 (prime-counting distributions)로부터 추정치를 산출하지만, Goldbach 계수는 컨볼루션 (convolution)입니다. 이 이선형 구조 (bilinear structure)가 특이 급수 (singular series) $S(n)$에 의해 편향을 증폭시킵니다.

The Takeaway

저는 수학자가 아니라 개발자입니다. 저는 AI 연구 엔진이 실제적인 발견을 수행할 수 있는지 확인하기 위해 이를 구축했습니다. 수학의 가장 오래된 미해결 문제 중 하나를 향해 엔진을 돌렸고, 그 결과 아무도 측정하지 않았던 Chebyshev 편향 (Chebyshev bias)을 $p = 4.07 \times 10^{-204}$의 유의 수준으로 찾아냈습니다.

AI 시스템이 자율적으로 중대한 수학적 발견을 수행하게 될 날이 머지않았습니다. 이것은 개념 증명 (proof of concept)입니다.

Code & Data

GitHub: github.com/subhansh-dev/goldbach-chebyshev-bias

Python, NumPy, SciPy, 250만 개의 Goldbach 계수 (6.3 MB). Luka로 구축되었습니다.