편미분 방정식의 역문제 해결을 위한 불확실성 정량화 기반 신경망 대리 모델

미분 방정식의 역문제 (Inverse problems)는 과학 및 공학 전반에서 발생하며, 이는 노이즈가 있거나 불완전한 관측값으로부터 미지의 모델 파라미터 (model parameters)를 추론하고자 하는 문제입니다. 이러한 문제에 대한 전통적인 수치적 방법 (numerical methods)은 계산 비용이 많이 드는 경우가 많으며, 특히 복잡한 순방향 모델 (forward models)과 고차원 파라미터 공간 (high-dimensional parameter spaces)을 다루는 베이지안 (Bayesian) 설정에서는 가능도 (likelihood)를 평가하는 비용이 매우 높습니다. 이러한 과제를 해결하기 위해, 우리는 불확실성을 인지하는 예측을 제공하여 학습 데이터가 제한적일 때 과도하게 확신하는 추론 (overconfident inference)을 줄여주는 미분 방정식 솔버를 위한 신경망 대리 모델 (neural-network surrogate)인 DeepGaLA를 소개합니다. 실제 환경에서 대리 모델에 의해 유도된 사후 근사 (posterior approximations)의 충실도를 평가하기 위해, 우리는 지연 수락 마르코프 체인 몬테카를로 (delayed-acceptance Markov chain Monte Carlo)의 짧은 실행이 효과적인 진단 도구로 활용될 수 있음을 보여줍니다. 다양한 수치 실험을 통해, DeepGaLA는 기존의 가우시안 프로세스 (Gaussian-process) 대리 모델과 대등한 정확도로 순방향 모델 근사를 제공하는 동시에, 파라미터 차원이 증가함에 따라 효율성을 더 잘 유지함을 입증했습니다. 또한, 비선형 (nonlinear) 설정을 포함하여 미분 방정식 제약 조건 (differential-equation constraints)을 통합할 수 있습니다. 종합적으로, 이러한 결과는 불확실성이 정량화된 신경망 대리 모델이 복잡한 시스템의 역문제에 대해 확장 가능하고 신뢰할 수 있는 베이지안 추론 (Bayesian inference)을 가능하게 할 수 있음을 나타냅니다.