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결측치가 존재하는 상황에서 k-means 클러스터링의 통계적 특성을 분석한 연구입니다. MCAR 메커니즘 하에서 클러스터 중심의 수렴 속도와 점근적 정규성을 증명하고, 결측 확률과 클러스터 분리 사이의 충분 조건을 제시합니다.
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원문 바로가기전통적인 $k$-means 클러스터링은 불완전한 데이터에 직접적으로 사용할 수 없으며, 결측치(missing data)를 위한 기존의 $k$-means 기반 클러스터링은 주로 클러스터링의 실질적인 정확도를 향상시키는 데 초점을 맞추고 있는 반면, 대부분 점근적(asymptotic) 관점에서의 이론적 보장이 부족합니다. 본 논문에서는 결측치가 존재하는 상황에서의 $k$-means 클러스터링의 통계적 특성을 조사합니다. 먼저, 우리는 일반적인 결측 메커니즘(missing mechanisms) 하에서 $\sqrt{n}$-초과 위험 경계(excess risk bound)를 설정하고 추정된 클러스터 중심(cluster centers)의 일관성(consistency)을 증명합니다. 완전히 무작위로 누락된(Missing Completely at Random, MCAR) 메커니즘의 경우, 우리는 추정된 클러스터 중심의 $\sqrt{n}$-수렴 속도(convergence rate)와 점근적 정규성(asymptotic normality)을 추가로 도출합니다. 또한, 불완전한 데이터로 추정된 클러스터 중심이 원래의 완전 관측 데이터(fully observed data)의 실제 클러스터 중심에 수렴하는 경우를 연구하고, 결측 확률(missing probability)과 실제 클러스터 간의 분리(separation)에 관한 충분 조건(sufficient condition)을 제시합니다. 이러한 결과는 결측 데이터 $k$-means(missing-data-$k$-means)에 대한 이론적 보장을 제공합니다. 특히, 우리의 분석은 MCAR 메커니즘 하에서 $\sqrt{n}$-속도를 달성하고 실제 클러스터 중심에 수렴하기 위해서는 $k$개의 실제 중심이 모든 차원에서 구별되어야 함을 밝혀내며, 이는 고차원 영역(high-dimensional regimes)에서의 적용에 있어 상당한 어려움이 있음을 강조합니다. 마지막으로, 우리는 이론적 분석 결과를 뒷받침하기 위해 합성된 불완전 데이터셋(synthetic incomplete datasets)에 대해 수치 시뮬레이션(numerical simulations)을 수행합니다.