확률적 프로그램의 구성적 정보 기하학

요약

본 논문은 확률적 프로그램의 구성적 정보 기하학을 연구하며, 타입 $X o Y$를 갖는 프로그램에 대해 반변성 느슨 모노이달 함수자를 구성합니다. 이는 표준 통계 모델에서는 피셔 계량으로 특수화됩니다. 또한 이 이론을 통해 세 가지 레벨의 부등식을 확립하여 점수-속도 계량과 Wasserstein-Fisher-Rao 계량을 연결하고, 연속 랜덤 변수로 확장 가능함을 보여줍니다.

핵심 포인트

확률적 프로그램에 대한 구성적 정보 기하학 연구
반변성 느슨 모노이달 함수자를 통해 기하학을 구성함
세 가지 레벨의 부등식으로 점수-속도 및 Wasserstein 계량 연결
디피오로지컬 준-보렐 공간으로 확장 가능성을 제시

우리는 확률적 프로그램의 구성적(compositional), 내포적(intensional) 정보 기하학을 연구합니다. 유한 랜덤 변수를 가진 1차 논리 기반의 확률적 프로그래밍 언어에 대해, 우리는 타입 $X o Y$를 갖는 프로그램을 위해, $Y$ 위의 (퇴화된) 리만 계량(Riemannian metric)을 $X$로 끌어당기는(pulls back) 반변성 느슨 모노이달 함수자(contravariant lax monoidal functor)를 구성합니다. 이는 표준 통계 모델의 경우 피셔 계량(Fisher metric)으로, 결정론적 프로그램의 경우 일반적인 끌어당기기(ordinary pullback)로 특수화됩니다. 나아가 우리는 이 구성을 두 가지 방식으로 정당화합니다. 첫째, 우리는 이 함수자가 고정된 추적 공간을 갖는 타입 $Y$ 위의 프로그램들의 보편 공간으로부터 기하학을 끌어당기는 것(pullback of geometry)으로 발생함을 보여줍니다. 둘째, 우리는 이것이 가중 측도(weighted measures)에 대한 보다 일반적인 끌어당기기 구성의 특수한 경우임을 보여줍니다. 우리의 구성적 기하학은 프로그램의 제시 방식에 의존하며, 우리는 세 가지 레벨의 부등식(three-level inequality)을 확립함으로써 이 기하학이 실현된 측도(realised measures)의 (비구성적) 기하학과 어떻게 관련되는지 연구합니다. 이 부등식은 프로그램에 대한 우리의 점수-속도 계량(score-velocity metric), 프로그램에 대응하는 출력 조건부 계량(output-conditioned metric), 그리고 실현된 분포족(realised family)의 표준 Wasserstein-Fisher-Rao 계량을 연결합니다. 마지막으로, 우리는 이 이론이 디피오로지컬 준-보렐 공간(diffeological quasi-Borel spaces)을 사용하여 연속 랜덤 변수를 수용하도록 어떻게 확장될 수 있는지 보여줍니다. 또한 몇 가지 구체적인 미래 연구 방향에 대해서도 논의합니다.

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