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본 영상은 상 전이(phase transition) 현상을 연구하는 내용으로, 매개변수 변화에 따른 이산화된 유체 모델 시뮬레이션을 다룹니다. 특히 액체-증기 모델을 소개하며, 물리학의 기본 원리인 볼츠만 공식과 평형 거동 개념을 설명합니다. 상 전이는 온도와 압력 같은 매개변수의 함수로서 나타나는 평형 상태의 불연속성입니다.
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원문 바로가기[Submit subtitle corrections at criblate.com] 이 영상은 상 전이(phase transition)에 관한 것입니다. 우리의 주요 목표는 매개변수를 변경함에 따라 상 전이를 보이는 이산화된 유체 모델의 시뮬레이션을 연구하는 것입니다. 지금 보고 계신 것이 바로 그것이며, 액체-증기 모델(liquid vapor model)이라고 불립니다. 이 시뮬레이션이 어떻게 작동하는지 이해하려면 물리학에서 가장 중요한 공식 중 하나인 볼츠만 공식(Boltzmann formula)을 소개해야 합니다. 그런 다음 이 시뮬레이션을 직접 구축할 수 있는 방법을 보고, 그것이 보여주는 매우 흥미로운 행동들 몇 가지를 조사해 보겠습니다.
참고로, 이 영상은 두 부분 시리즈의 첫 번째 파트입니다. 후속편은 Spectral Collective 채널에서 현재 라이브 중입니다. 거기에서는 기본 수학을 사용하여 본질적으로 완전히 이해할 수 있는 액체-증기 모델의 단순화된 버전을 살펴볼 것입니다. 좋습니다. 그렇다면 상 전이(phase transition)란 무엇일까요? 화학 수업 시간에 기억하실 수도 있겠지만, 상 전이는 화학 반응이 아닙니다. 얼음 분자는 물과 증기의 분자와 같습니다. 모두 H2O입니다. 물질의 서로 다른 상은 분자들이 서로 상호작용하는 방식의 차이에 해당합니다.
예를 들어, 얼음에서는 분자들이 단단한 구조에 고정되어 있고 상호작용이 먼 거리에 걸쳐 일어납니다. 다시 말해, 얼음 덩어리의 한쪽 끝을 밀면 다른 쪽 끝도 움직입니다. 이는 물에서는 일어나지 않으며, 증기에서는 확실히 일어나지 않습니다. 비록 물에는 잔물결이 꽤 멀리 이동할 수 있기 때문에 여전히 장거리 상호작용의 흔적은 있지만요. 하지만 증기의 작은 영역 하나를 조금 옮긴다고 해서 멀리 떨어진 다른 위치에 거의 아무런 영향도 미치지 못합니다. 여러분은 아마 이런 상 다이어그램(phase diagram)을 전에 본 적이 있을 것입니다.
이것은 다양한 온도와 압력에서 H2O 분자들을 가지고 있을 때 어떤 상태의 물질을 관찰하게 될지 알려줍니다. 이러한 상(phase) 사이의 선을 넘어서면 상전이(phase transition)가 발생합니다. 이것은 실제로 일어나는 현상이 아니며, 물이 끓기를 기다릴 때 아시다시피 갑자기 발생하는 것이 아닙니다. 대신, 시스템의 상태는 평형 거동(equilibrium behavior)을 의미하며, 이는 시스템이 충분한 시간을 가지고 안정화된 후에 관찰되는 것입니다. 이 평형 거동은 단지 몇 가지 매개변수(parameters)에 의해 결정됩니다.
이 경우, 온도와 압력입니다. 그리고 상전이는 매개변수의 함수로서의 평형 거동에서의 불연속성입니다. 아마 전에 본 적 없는 것 중 하나는 실제로 최소 19가지 종류의 얼음이 있다는 것입니다. 하지만 그것은 이 영상의 범위를 벗어납니다. 또한, 매우 높은 온도와 압력에서는 초임계 유체(supercritical fluid)라고 불리는 것이 있는데, 이는 액체와 기체 사이를 연속적으로 변화합니다. 이것은 매개변수들을 이 영역을 통해 이동함으로써, 상전이를 목격하지 않고도 물에서 증기를 얻을 수 있다는 것을 의미합니다.
이 영상의 주요 목표 중 하나는 상 다이어그램(phase diagram)의 이 영역에 있는 유체에 대한 이산화 모델(discretized model)인 액체-증기 모델(liquid vapor model)을 소개하는 것입니다. 다시 한번 이것을 보겠습니다. 화면의 각 파란색 픽셀은 분자를 나타내고, 각 흰색 픽셀은 빈 공간을 나타냅니다. 여기에는 제어판이 있는데, 이곳에서는 시뮬레이션의 거동을 제어하는 두 매개변수의 값을 설정할 수 있는 상 다이어그램도 표시됩니다. T는 온도이며, 두 번째 매개변수로는 압력을 예상하실 수도 있지만, 실제로는 이와 같은 시뮬레이션에서 압력으로 작업하기가 조금 까다롭기 때문에 화학 포텐셜(chemical potential)이라는 다른 매개변수를 사용합니다.
다시 말하자면, 이 점을 명확히 하자면, 열역학적 관측량(thermodynamic observables)의 다양한 쌍들 사이에는 좋은 대응 관계가 존재합니다. 이는 영상 후반부에 더 자세히 설명하겠습니다. 온도는 에너지와 짝을 이루고, 압력은 부피와 짝을 이루며, 화학 포텐셜(chemical potential)은 분자 수 또는 분자 개수와 짝을 이룹니다. 이에 대한 세부 사항은 나중에 다루겠지만, 지금은 특정 고정 온도에서 시스템이 있다면 에너지가 약간 변하도록 허용해야 하며, 그 변화 방식은 우리가 설정한 특정 온도에 의해 결정된다는 것만 알아두시면 됩니다.
마찬가지로, 만약 특정 압력의 시스템을 원한다면 부피가 변하도록 허용해야 합니다. 그리고 이것은 제가 보여드리는 시뮬레이션에서는 그리 쉽지 않은데, 왜냐하면 이 시뮬레이션의 상태가 제 컴퓨터에서 고정된 크기의 배열(array)로 표현되기 때문입니다. 대신에, 우리는 화면상의 분자 수가 다른 매개변수인 화학 포텐셜에 의해 제어되는 방식으로 변하도록 허용할 것입니다. 화학 포텐셜이 높으면 일반적으로 화면상에 더 많은 분자가 존재하고, 그 반대도 마찬가지입니다.
분자 수를 늘리는 것은 부피를 줄이는 것과 다소 유사한 효과가 있습니다. 왜냐하면 이 둘 모두 분자의 밀도를 증가시키기 때문입니다. 이것이 바로 화학 포텐셜이 적어도 압력의 괜찮은 대리 지표(stand in)가 되는 이유입니다. 이제, 비록 직관적으로 이해하고 계실 수도 있지만, 온도는 사실 조금 더 신비합니다. 그것은 에너지가 얼마나 중요한지를 제어하며, 우리 시뮬레이션에서 에너지는 분자들이 얼마나 뭉쳐 있는지를 나타냅니다. 이에 대해서는 나중에 훨씬 더 많이 이해하게 되겠지만, 지금은 높은 온도에서는 분자들이 서로 가까이 뭉쳐 있는 것이 그다지 중요하지 않으며, 무작위성(randomness)이 핵심 요소라는 것만 알아차리시면 됩니다.
대신, 고온에서 화학 포텐셜(chemical potential)을 변화시키면 분자의 밀도가 상전이(phase transition) 없이 부드럽게 변하며, 이는 실제 상 다이어그램(phase diagram)의 초임계 유체 영역과 같습니다. 하지만 저온에서는 특정 임계값을 넘어서자마자 상전이가 일어나기 시작하고, 밀도는 기체처럼 매우 낮은 값에서 액체처럼 매우 높은 값으로 건너뛰며 변화합니다. 시뮬레이션의 특성상 화면에 표시되는 분자의 개수는 여전히 점진적으로 변해야 하므로, 상전이는 한 번에 일어나지 않습니다.
하지만 상전이 과정 동안 그림의 모든 영역은 대부분 파란색이거나 대부분 흰색이며, 파란색과 흰색 영역이 만나는 중간 밀도의 영역은 없습니다. 우리는 실제로 수학적으로 설명될 수 있는 모양을 가진 명확하게 정의된 곡선들을 볼 수 있습니다. 이 하나의 시뮬레이션과 영상에서 이야기할 것이 너무 많습니다. 여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 정말 이해하기 위해 필요한 모든 것을 소개하고 싶습니다. 이 지점에서 제가 아직 많이 언급하지 않은 주요 질문은, 이 시뮬레이션이 정확히 어떻게 작동하는가 하는 것입니다.
이 질문에 답하려면 통계역학에서 가장 중요한 공식인 볼츠만 법칙(Boltzmann law)에 대해 이야기해야 합니다. 볼츠만 법칙은 분자의 각 구성(configuration) x의 확률을 알려주는 확률 분포를 위한 공식입니다. 여러분이 가질 수 있는 첫 번째 질문은, 왜 여기서 아예 무작위성(randomness)을 사용하는가 하는 것일 겁니다. 먼저 말씀드리자면, 이것은 양자역학(quantum mechanics)에서 비롯될 수 있는 무작위성이 아닙니다. 우주가 진정으로 결정론적(deterministic)이더라도, 많은 입자로 이루어진 시스템을 모델링하는 데 무작위성을 사용하는 것은 매우 유용할 수 있습니다.
이유를 알아보기 위해 사고 실험부터 시작하겠습니다. 주어진 초기 위치와 속도를 가진 20개의 입자가 상자 안에 있다고 가정해 봅시다. 이것을 미세 상태(microstate)라고 부르는데, 시스템 내의 미시적 입자에 대한 모든 정보를 담고 있기 때문입니다. 이들이 뉴턴의 운동 법칙에 따라 진화하며, 마찰 없이 서로 탄성 충돌한다고 가정합시다. 이제 눈을 감고 30분 낮잠을 잔다고 해봅시다. 깨어났을 때 어떤 미세 상태를 관찰하게 될까요?
아마도 이 문제를 손으로 풀 수는 없을 겁니다. 컴퓨터가 있다면 할 수도 있을지 모릅니다. 하지만 입자 수를 늘리면 컴퓨터조차 어려움을 겪기 시작할 것입니다. 예를 들어, 단지 200개의 입자로만 구성된 이 시뮬레이션조차 제 컴퓨터로 몇 시간이 걸렸습니다. 우리가 가진 가장 강력한 컴퓨터들로도 이 문제는 절대 풀 수 없을 겁니다. 만약 입자 수가 100억 개나 $10^{10}$ 정도였다면요? 계산량이 너무 많습니다. 그리고 참고로, 100억 개는 우리가 상호작용하는 어떤 것의 일반적인 입자 수와도 거리가 멉니다.
단지 티스푼 한 스푼의 물에도 약 $10^{23}$개의 물 분자가 있습니다. 이 숫자가 얼마나 큰지 감을 잡기 위해서입니다. 전체 바다에는 그 정도 티스푼 분량의 물이 들어있습니다. 따라서 우리는 미세 상태를 결정하기 위해 유리잔 속 모든 물 분자의 정확한 위치를 예측할 수는 없습니다. 하지만 그것이 물인지 얼음인지는 알 필요가 없습니다. 사람들은 분자가 존재한다는 것을 아무도 알기 훨씬 전부터 물과 얼음을 구별할 수 있었습니다.
우리가 볼 수 있는 것은 거시적인 행동이나 매크로 상태(macro state)뿐이므로, 분자 개개인의 행동보다는 전체 통계에만 관심이 있습니다. 이것이 첫 번째 핵심 아이디어의 주요 동기입니다. 즉, 이와 같은 결정론적 미세 상태(deterministic microstate)를 무작위 미세 상태(random microstate)로 근사하는 것입니다. 이에 대한 한 가지 관점은 우리가 실제 미세 상태를 알지 못하기 때문에 무작위성을 대리 변수(proxy)로 사용한다는 것입니다. 다시 말해, 우리의 불확실성에 대한 자리표심으로 무작위성을 사용하는 것입니다.
이것은 미묘한 지점이며, 사실 이 근사가 일반적인 경우에 좋은 근사치라는 것을 수학적으로 증명하는 것은 여전히 열린 문제입니다. 현재로서는 이것이 실제에서 잘 작동하기 때문에 무작위성이라는 가설(postulate)을 받아들이겠습니다. 하지만 시스템의 미세 상태가 무작위적이라고 말하는 것만으로는 전체 그림을 알 수 없습니다. 우리는 미세 상태의 분포를 알아야 합니다. 다시 말해, 특정 미세 상태를 볼 확률을 알아야 합니다. 알고 보니 미세 상태 $x$의 확률은 해당 미세 상태의 에너지를 시스템 온도($T$)로 나눈 값에 음수 부호를 붙인 지수 함수에 비례합니다.
이것을 볼츠만 분포(Boltzmann distribution)라고 하며, 이것을 이해하는 것이 이 영상의 첫 번째 주요 과제입니다. 전에 본 적이 있다면 분모에 $k$라는 인자가 있었던 것을 기억할 수도 있습니다. 이것은 볼츠만 상수(Boltzmann's constant)라고 불리며, 이번 영상에서는 무시하겠습니다. 우리가 $k$의 수치적 값이 1과 같도록 단위를 선택함으로써 그렇게 할 수 있습니다. 어쨌든, 이 공식은 온도를 변화시키면서 어떻게 상전이(phase transitions)가 발생할 수 있는지 이미 설명하고 있습니다. 따라서 볼츠만 공식 자체를 증명하기 전에, 이것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
먼저, 에너지가 높은 상태는 확률이 낮고 그 반대인 경향이 있습니다. 이는 자연이 에너지를 최소화하려는 경향과 일치합니다. 하지만 이것이 볼츠만 분포(Boltzmann distribution) 하에서 매우 낮은 에너지의 미세상태(microstate)를 일반적으로 관찰할 것이라는 의미는 아닙니다. 어떤 에너지 준위가 더 가능성이 높은지 이해하려면 특정 에너지 준위에 있는 미세상태의 개수도 고려해야 합니다. $ ext{Omega } E$를 에너지 $e$를 가진 미세상태들의 집합으로 표기하겠습니다. 이 모든 미세상태는 $-E/T$의 지수에 비례하는 동일한 확률을 가지므로, $ ext{Omega } E$에서 미세상태가 나올 확률은 이 지수 인자($ ext{exponential factor}$)에 $ ext{Omega } E$의 크기(size)를 곱한 것에 비례합니다.
비교하기 쉽게 하기 위해, $ ext{Omega } E$의 크기를 로그(logarithm)를 취하여 지수 안으로 옮길 수 있습니다. $ ext{Omega } E$의 크기의 로그는 사실 시스템의 에너지 준위 $E$에서의 엔트로피(entropy)라고 불리는 매우 중요한 양이며, 이를 $S$로 표기하겠습니다. 이 맥락에서 엔트로피 $S$는 실제로는 에너지 $E$의 함수라는 점을 기억해 주십시오. 비록 지금은 표기를 간단하게 유지하기 위해 $S$로만 쓰겠지만 말입니다. 이 공식으로부터, 가장 가능성이 높은 에너지 준위는 $-E/T + S$가 최대화되는 곳임을 알 수 있습니다.
온도(temperature)는 음수가 아니므로, 이는 $E - T imes S$를 최소화하는 것과 같습니다. 이 중요한 양을 자유 에너지(free energy)라고 부릅니다. 잠시 시간을 내어 이 최소화 문제가 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다. 첫째, 온도가 매우 낮을 때는 엔트로피의 변화가 자유 에너지를 크게 바꾸지 않습니다. 따라서 자유 에너지를 최소화하는 것은 본질적으로 에너지를 최소화하는 것과 같습니다. 높은 온도에서는 엔트로피의 변화가 훨씬 더 중요하며, 따라서 자유 에너지의 최소화는 대신 엔트로피를 최대화하는 것에 의해 주도됩니다.