많은 영상 처리 문제들은 공간적으로 변화하는 강도(intensity), 특징(feature), 또는 밀도(density) 필드에 의해 유도되는 공간 변환(spatial transformations)을 계산할 것을 요구합니다. 대표적인 예로는 왜곡 보정(distortion correction), 변형 가능한 영상 등록(deformable image registration), 아틀라스 기반 분할(atlas-based segmentation), 그리고 변형 주도 영상 분석(deformation-driven image analysis) 등이 있습니다. 이러한 작업들은 변환이 국부 구조(local structure)를 보존하거나, 경계 동작(boundary behavior)을 제어하거나, 각도 왜곡(angular distortion)을 조절하도록 제한되는 기하학적 매핑(geometric mapping) 문제로 정식화될 수 있습니다. 이러한 정식화는 일반적으로 변분 모델(variational models), 확산 과정(diffusion processes), 또는 타원형 편미분 방정식(elliptic partial differential equations)으로 이어집니다. 그러나 기저의 매개변수 필드(parameter fields)가 인스턴스마다 다를 경우, 고해상도 시스템을 반복적으로 푸는 것은 계산 비용이 많이 듭니다.

본 연구에서는 기하학적 매개변수화(geometric parameterization) 및 매핑 문제를 위한 해상도 독립적(resolution-free) 신경 대리 모델(neural surrogate)을 제안합니다. 공간적으로 변화하는 매개변수 필드 $p:Ω o ext{R}^m$와 쿼리 위치(query locations)가 주어지면, 모델은 임의의 구조화된(structured) 또는 비구조화된(unstructured) 점 집합에 대해 매핑된 위치(mapped locations)인 ${u(x_i)}_{i=1}^N$를 예측합니다. 고정된 그리드(fixed grid)에 대한 의존성을 피하기 위해, 우리는 매개변수 필드의 좌표 증강 샘플(coordinate-augmented samples)을 통해 네트워크에 조건을 부여하는 다중 해상도 기하학적 인코딩(multi-resolution geometric encoding) 전략을 사용합니다. 이 모델은 변분 에너지(variational energies), 확산 기반 밀도 균등화(diffusion-based density equalization), 그리고 준공형 이론(quasi-conformal theory)에서 도출된 기하학 인지 제약 조건(geometry-aware constraints)을 강제함으로써 레이블이 지정된 솔루션 데이터 없이 학습됩니다. 제안된 방법의 효과를 입증하기 위해 준공형 매핑(quasi-conformal mapping) 및 밀도 균등화 매핑(density-equalizing mapping) 문제에 대한 실험 결과가 제시됩니다.