2026-07-04 현황 정리

지금까지 파악한 내용

SAIR IGP24의 과제는 차수 24의 정수 계수 기약 다항식(irreducible polynomial)을 찾아내고, 그 갈로아 군(Galois group)이 많은 추이 치환군(transitive permutation group) 24Tt를 실현하도록 하는 것입니다. 또한, 실근의 수 r에 따른 판별식(discriminant)이 작을수록 스코어 상 유리해집니다.

처음에는 계수가 작은 monic(단항) 차수 24 다항식을 랜덤하게 생성하고, 기약성(irreducibility)이나 실근 수로 필터링하여 제출 후보를 만드는 소박한 방침을 시도했습니다.

하지만, 처음 100건의 제출 결과는 모두 24T25000이었습니다.

• accepted: 100
• rejected: 0
• 전부 24T25000
• 관측된 r: 0, 2, 4

이는 실패라기보다 상당히 중요한 정보였습니다. 랜덤한 희소 다항식(sparse polynomial)은 적어도 지금의 생성 방법으로는 generic한 거대 군으로 흐르기 쉬우며, 미답의 작고 특수한 군을 노리기에는 적합하지 않습니다.

방침 전환

앞으로는 랜덤 탐색을 주력으로 하지 않습니다.

대신, 특정 24Tt를 먼저 결정하고, 그 군의 구조로부터 다항식을 구성하는 방침으로 전환합니다. 현재 명시적인 타겟은 24T1000입니다.

LMFDB에 따르면, 24T1000은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

• 위수(order): 384 = 2^7 * 3
• group label: 384.5677
• 표시명: C_2^2 . GL(2, Z/4)
• solvable: yes
• primitive: no
• 저차 resolvent: 2, 4, 6, 8, 12, 24, 48, 96
• subfield로서 degree 3, 6, 12의 구조가 보임

즉, 이것은 랜덤하게 기대할 대상이 아니라, imprimitive한 구조나 resolvent, 저차 부분체(subfield)로부터 조립해야 할 대상이라고 생각합니다.

다음에 할 일

당면한 작업은 제출 수를 늘리는 것이 아니라, 탐색 파이프라인을 다시 만드는 것입니다.

• 공식 제출 결과를 로컬 DB에 도입
• 24T25000을 저우선순위 또는 블랙리스트 취급
• 24T1000을 타겟으로 한 구조적 generator를 제작
• 후보 다항식마다 기대하는 군, 실근 수, 판별식의 근거를 저장
• 로컬 계산과 공식 SAIR 평가를 명확히 분리

특히 중요한 것은 로컬의 Sage/PARI/GAP에 의한 값을 '공식 결과'와 혼동하지 않는 것입니다. 로컬 계산은 어디까지나 후보를 좁히기 위한 필터이며, 최종적인 24Tt나 r은 SAIR 측의 평가로 확정됩니다.

현재의 탐색 이미지

향후 탐색은 다음과 같은 흐름으로 진행합니다.

target label을 결정
↓
LMFDB / GAP로 군 구조를 조사
...

랜덤 탐색의 위치 설정

랜덤 탐색을 완전히 버리는 것은 아닙니다. 다만, 앞으로는 '주력'이 아니라 비교용·보조용으로 한정합니다.

특히 24T25000과 같이 generic sink에 빠지기 쉬운 생성기는 그대로 제출 후보를 만드는 용도로 사용하지 않습니다. 새로운 생성기를 시험할 때도 어떤 군을 노리고 있는지, 어떤 구조를 기대하고 있는지를 기록하도록 하겠습니다.

요약

당초 계획에서는 우선 대량 생성하여 낮은 곳부터 채울 생각이었습니다. 하지만 실험해 보니 차수 24에서는 소박한 랜덤 탐색은 금방 generic한 군에 흡수됩니다.

따라서 현재는,

• "다항식으로부터 군을 조사한다"
• 가 아니라
• "군의 구조로부터 다항식을 만든다"

방향으로 전환하고 있습니다.

다음 타겟은 24T1000입니다. 여기서부터는 역 갈로아 문제(inverse Galois problem)를 상당히 소박하게, 하지만 컴퓨터로 돌릴 수 있는 형태로 떨어뜨리는 작업이 됩니다.

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