Factorio 품질 문제 풀기

• Factorio의 품질 향상과 재활용 순환을
  전이 행렬과 선형 방정식으로 모델링하면, 장기 평균 생산량과 필요한 설비 처리량을 계산할 수 있음 - 핵심은 개별 아이템이 순환한 횟수 대신
  현재 품질 등급별 처리량을 추적하는 것으로, 무한히 반복될 수 있는 공정을 동적 평형의Ax = b

문제로 바꿈 - 재활용만 반복하는 방식과 제작을 결합한 방식은 수율이 크게 다르며, 일부 아이템은
**생산성 보너스 +300%**에서 자원 손실 없이 일반 제품을 전설 제품으로 전환할 수 있음 - 소행성 재처리는 종류 3개와 품질 5개를 결합한
15차원 모델로 계산하며, 특정 조건에서 전설 소행성 한 종류의 수율이 신규 투입량의 약 1.4%에 달함 - 이 계산을 수행하는 웹 도구
factoqual을 공개했으며, TypeScript와 유리수 연산으로 반복 근사 대신 정확한 해를 구함

품질 모듈과 재활용이 만드는 순환 공정

• Factorio는 자원을 채취하고 점점 복잡한 물품을 제작하는 게임으로, 캐릭터의 수작업보다
  기계와 물류를 통한 자동화에 초점을 맞춤- 기계의 제한된 모듈 슬롯에 속도 모듈을 넣으면 에너지 소비를 늘려 속도를 높이고, 생산성 모듈을 넣으면 속도와 에너지를 대가로 같은 재료에서 더 많은 제품을 얻음

• 2024년 출시된
  Space Age확장팩은 모든 아이템과 제작법에 일반, 고급, 희귀, 특급, 전설의 5개 품질 등급을 추가함- 품질이 높아지면 아이템에 따라 제작 기계의 속도나 생산성 모듈의 생산성 등이 향상됨

• 같은 품질의 재료로 해당 품질의 제품을 직접 만들 수 있지만, 품질 등급을 올리려면 품질 모듈이 필요함

• 품질 모듈은 품질이 한 단계 이상 상승할 확률 (q)를 결정하며, 첫 상승 이후에는 추가 단계마다
  10% 확률이 적용됨- 슬롯 4개인 기계의 최대 품질 상승 확률은 24.8%이며, 일반에서 전설로 한 번에 올라갈 확률은 0.0248%임

• 대부분 결정적이던 게임에 무작위성이 들어오는 것을 싫어하는 플레이어도 있지만, 충분히 반복하면 큰 수의 법칙에 따라 확률을 생산 비율로 다룰 수 있음

• 여러 제작 단계를 거쳐도 고품질 제품을 얻는 과정에서는 원치 않는 저품질 제품이 많이 생김
  재활용기는 아이템을 파괴하고 대체로 재료의 25%를 돌려주므로, 저장 공간이 가득 차 공장이 멈추는 것을 피할 수 있음- 품질 모듈을 장착한 제작기와 재활용기를 순환시키는 업사이클링은 더 많은 재료를 소비해 원하는 품질에 도달하는 방식임

기존 공장 계획 도구로 어려운 문제

• 게임 밖에서 기록과 계산을 하는 플레이 방식은 드물지 않음

• Blue Prince는 게임 내 메모 도구 없이 방대한 기록을 요구하며, 공장 게임에서는 대형 스프레드시트나 Factoriolab 같은 전용 도구로 생산 사슬을 모델링함

• 계획 없이 부족한 설비를 추가하는 방식도 가능하지만,
  기계 수, 예상 수율, 병목을 미리 계산하려면 품질 업사이클링의 순환 구조가 난제가 됨- 단순한 추측으로도, 기존 도구로도 이 순환을 계산하기 어려움

품질 변화를 전이 행렬로 표현하기

각 아이템의 품질 분포를

5성분 행벡터로 나타내면, 제품 분포는 재료 분포에 전이 행렬을 곱해 구할 수 있음- 특정 품질의 제품이 나올 확률은 같은 등급 또는 더 낮은 등급의 재료에서 해당 품질로 도달할 확률을 합한 값임

• 품질 확률표와 개별 방정식의 계수 배치가 달라 보이는 것은 제품 등급을 세로로 나열했기 때문이며, 행벡터를 쓰면 표와 같은 배치를 사용할 수 있음

품질 전이 행렬은 다음과 같으며, 품질 상승 확률이 0이면 단위행렬 (I_5)가 됨[ \text{products}=\text{ingredients},T_{\text{quality}}(q) ]

[ T_{\text{quality}}(q)= \begin{pmatrix} 1-q&9q/10&9q/100&9q/1000&q/1000\ 0&1-q&9q/10&9q/100&q/100\ 0&0&1-q&9q/10&q/10\ 0&0&0&1-q&q\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix} ]

여러 공정은

행렬의 연속 곱셈으로 계산함- 생산성 보너스 없이 철광석 채굴의 품질 확률 7.5%, 철판 제련 5%, 파이프 제작 10%를 차례로 적용함

• 일반 등급에서 시작한 최종 파이프의 품질 분포는 약 ((0.790875,\ 0.174263,\ 0.029678,\ 0.004467,\ 0.000719))임

‘도박’: 재활용 없이 고품질을 노리기

• 모든 곳에 품질 모듈을 넣어 모든 등급을 동시에 취급할 수도 있지만, 여기서는 작고 독립적인 시스템을 계산함
  **도박(Gambling)**은 일반 재료로 품질 모듈을 사용해 제작하고 아무것도 재활용하지 않는 가장 간단하고 효율이 낮은 방식임- 재활용기를 해금하기 전에도 가능하지만, 초기 우주선용 고급/희귀 소행성 수집기 십여 개를 얻으려고 수백 개를 제작하는 등 제한적인 용도에 적합함

• 일반 제품을 다른 곳에서 소비할 수 있으면 더 유용함. 지상에 일반 태양 전지판 수천 개를 설치한다면, 저장 공간이 차기 전에 우주선용 고품질 전지판을 더 많이 얻을 수 있음

• 순환이 없는 단일 공정이므로
  예상 품질 분포는 (T_{\text{quality}}(q))의 첫 번째 행과 같음

‘세척’: 재활용만 반복하는 순환

**세척(Washing)**은 재활용 시 재료가 아니라 같은 아이템이 돌아오는 물품을 대상으로 함- 광석처럼 제작법이 없거나 제련/화학 공정처럼 되돌릴 수 없는 경우, 재활용기는 25% 확률로 같은 아이템을 반환하고 나머지는 파괴함

• 품질 모듈을 넣고 반복하면 아이템은 결국 파괴되거나 목표 품질에 도달함

• 품질별 추출과 잔류를
  필터 행렬로 나타냄- 희귀 이상을 추출한다면 잔류 필터 (K)의 대각 성분은 ((1,1,0,0,0)), 추출 필터 (E)는 ((0,0,1,1,1))이며 (E=I_5-K)임

• 재활용의 75% 파괴 확률은 벡터에 (1/4)을 곱해 반영하고, 한 차례 순환은 (L=K\frac14T_{\text{quality}}(q))로 표현함

• 아이템은 즉시 추출될 수도, 한 번 또는 여러 번 순환한 뒤 추출될 수도 있어 최종 결과가
  무한급수가 됨- 단일 투입 아이템의 품질 분포를 (f)라 하면 추출 분포는 (f\left(\sum_{i=0}^{\infty}L^i\right)E)임

• 각 항이 지수적으로 작아져 수렴하므로 반복 근사도 가능하지만, 평형 방정식을 이용하면 정확한 해를 구할 수 있음

장기 평균 처리량으로 바꾸기

• 필요한 정보는 과거 순환 횟수가 아니라
  현재 품질 등급뿐이므로, 단일 아이템의 확률 대신 충분히 긴 기간의 평균 처리량을 계산함 - 신규 투입량 (f), 재활용 반환량, 분배기 통과량 (s), 추출량, 재활용 투입량을 각각 5성분 벡터로 둠

• 분배기에는 신규 투입과 재활용 반환이 합쳐지고, 그 흐름이 추출과 재활용으로 나뉨

• 평형에서 (s=f+sL)이므로
  선형 방정식(s(I_5-L)=f)를 얻음 - 표준적인 열벡터 형식에 맞춰 전치하면 (A=(I_5-L)^T,\ x=s^T,\ b=f^T)인 (Ax=b)가 됨

• 가우스 소거법으로 풀고 필터를 적용하면 재활용기 수 산정에 필요한 처리량과 전체 수율을 구할 수 있음

• 필요한 정보는 과거 순환 횟수가 아니라

광석 투입량과 재활용 처리량 계산 예

• 초당 광석 100개를 품질 분포 ((90,9,0.9,0.09,0.01))로 투입하고, 재활용 품질 확률 10%에서 희귀 이상을 추출하는 조건임
• 재활용 투입량은 초당 일반 약 116.1291개, 고급 약 14.9844개임
• 추출량은 초당 희귀 약 1.4985개, 특급 0.1499개, 전설 0.0167개로, 분당 약
  90개, 9개, 1개에 해당함 - 일반 아이템만 투입하고 품질 확률 24.8%로 전설만 추출하면, 신규 투입 1개당 전설 산출량은 약 0.000366716개임
• 전설 1개당 일반 입력을 평균
  2,726.91개소비하며, 필요한 재활용 처리 용량은 신규 투입 속도의 (4/3)보다 조금 작음

‘업사이클링’: 제작과 재활용 결합하기

**업사이클링(Upcycling)**은 재활용이 재료를 돌려주는 제품에 제작기와 재활용기를 연결하는 방식임- 여러 재료와 수량을 ‘제작 1회분 재료 묶음’으로 묶어 계산함

• 건설 로봇 제작에서 초당 전자 회로 4개와 비행 로봇 프레임 2개를 소비하면, 초당 재료 묶음 2개로 취급함

• 재료와 제품은 시스템의 서로 다른 부분에 존재하므로 각각
  5성분 벡터로 계산할 수 있고, 10차원으로 확장할 필요는 없음- 외부에서 임의 품질의 재료와 제품을 모두 투입할 수 있으며, 원하는 품질의 재료와 제품을 각각 추출할 수도 있음

• 고품질 재료가 제품보다 유용하거나, 특정 제품의 순환이 다른 방법보다 재료 품질을 높이는 데 효율적일 수 있음

생산성 보너스와 품질 확률을 별도로 반영함- 제작 전이는 (T_c=(1+p)T_{\text{quality}}(q_c)), 재활용 전이는 (T_r=\frac14T_{\text{quality}}(q_r))임

• 제작과 재활용의 품질 확률은 모듈 구성이나 슬롯 수에 따라 다를 수 있음

• 재료와 제품 각각에 신규 투입량, 총량, 추출량, 다음 공정 투입량을 두고, 제작 산출과 재활용 반환으로 두 흐름을 연결함

• 재료 잔류 필터를 (K_I), 제품 잔류 필터를 (K_P)라 하고 (C=K_IT_c,\ R=K_PT_r)로 두면, 총 제품 흐름 (P)는
  **(P=f_P+(f_I+PR)C)**를 만족함- 따라서 ((I_5-RC)^TP^T=(f_P+f_IC)^T)를 풀면 됨

• 구한 총 제품 흐름을 원래 평형식에 대입해 제작량, 재활용량, 재료와 제품 추출량을 모두 계산함

건설 로봇 생산 예

• 일반 재료만 투입하고, 재료는 추출하지 않으며 전설 제품만 추출하는 조건을 사용함

• 생산성 보너스는 0%, 제작과 재활용의 품질 확률은 모두
  **24.8%**임 - 재료 1묶음당 전설 제품 수율은 약 0.006464개임

• 일반 제품의 제작 속도
  분당 360개가 병목이므로 전체 흐름을 이에 맞춰 조정함 - 분당 제작량은 일반부터 전설 순서로 약 ((360,\ 35.18,\ 12.17,\ 3.44,\ 0.66))개임

• 분당 재활용량은 약 ((270.72,\ 106.81,\ 25.04,\ 6.89,\ 0))개임

• 신규 재료 약 309묶음, 즉 프레임 309개와 회로 618개를 분당 소비해
  전설 건설 로봇 약 1.99개를 생산함

생산성 +300%에서의 무손실 전환

• Space Age의 일부 아이템은 반복 연구로 생산성을 높일 수 있지만, 제작 후 재활용으로 원래보다 많은 재료를 얻지 못하도록
  **보너스 상한 +300%**가 적용됨 - 연구 비용이 지수적으로 증가하므로 생산성 모듈도 사용해 상한에 도달하고, 제작기에는 품질 모듈을 넣지 않는 조건을 가정함

• 일반 제품만 신규 투입하고 제작 품질 확률 0%, 재활용 품질 확률 24.8%에서 전설만 추출하면
  일반 제품 1개당 전설 제품 1개를 얻음 - 중간 품질 등급들의 처리량이 서로 같아지는 결과도 나타남

• 자원 손실은 없지만, 의미 있는 처리량을 확보하려면 많은 기계와 모듈이 필요함

• Space Age의 일부 아이템은 반복 연구로 생산성을 높일 수 있지만, 제작 후 재활용으로 원래보다 많은 재료를 얻지 못하도록

‘우주 카지노’: 소행성 재처리 순환

• Space Age의 우주 플랫폼은 소행성 덩어리를 수집하고 분쇄해 자원을 얻는 작은 공장임

• 자원은 우주선의 연료와 탄약으로 쓰거나, 우주에서 생산한 제품을 행성으로 보내는 데 사용할 수 있음

• 금속질, 탄소질, 산화물의
  3종 소행성은 산출 자원과 태양계 내 출현 비율이 다름

• ‘우주 카지노’는 소행성 재처리에 품질 모듈을 적용해 반복하는 방식임

• 한 번 재처리하면 같은 종류가 나올 확률은 40%, 나머지 두 종류는 각각 20%이며, 20%는 사라짐

• 전설 덩어리를 분쇄하면 다른 전설 아이템 제작에 쓸 수 있는 일부 기본 자원을 전설 품질로 얻음

종류 3개 × 품질 5개를 15성분 벡터로 표현하고, 5×5 행렬 9개로 구성한 블록 행렬을 사용함- 종류 변환은 대각 블록 (0.4I_5), 나머지 블록 (0.2I_5)로 구성함

• 품질 변환은 대각 블록에 (T_{\text{quality}}(q))를 배치하고, 종류별 추출 조건도 별도 필터 블록으로 구성함

• 순환 행렬을 (L=K_{15}T_{\text{reprocessing}}^{15}T_{\text{quality}}^{15}(q))로 두면, 세척과 마찬가지로 ((I_{15}-L)^T\text{total}^T=\text{fresh}^T)를 풀면 됨

• 분쇄기는 모듈 슬롯이 2개여서 최대 품질 확률이
  **12.4%**이며, 수집기에는 슬롯이 없어 신규 덩어리는 항상 일반 품질임- Nauvis 궤도의 신규 투입 비율을 금속질 (3/6), 탄소질 (2/6), 산화물 (1/6)로 놓고 전설 산화물만 추출하면, 총 신규 투입 1개당 약 0.01398개를 얻음

• 품질이 올라갈수록 소행성 종류의 분포는 빠르게
  각각 1/3에 가까워지고, 일반 입력의 종류별 비율은 순환 중 전설 덩어리의 분포에 거의 영향을 주지 않음- 전설 한 종류의 수율은 약 (1/71.5), 즉
  **1.4%**로 순수 재활용의 약 (1/2726)보다 높음 - 재처리는 입력의 20%만 파괴하지만 재활용은 75%를 파괴하기 때문임

• 전설 한 종류의 수율은 약 (1/71.5), 즉

다른 순환 전략에도 적용하는 계산법

• The LDS Shuffle처럼 앞선 분류에 맞지 않는 품질 전략도 있으며, 순환 때문에 계산이 어려우면 같은 방법을 적용할 수 있음

• 여러 아이템 종류의
  처리량을 벡터로 나타냄 - 제작과 재활용 같은 선형 변환을 행렬 곱으로 나타냄

• 동적 평형을 행렬 방정식으로 나타냄

• 필요하면
  가우스 소거법으로 방정식을 풂

• 여러 아이템 종류의

정확한 계산을 수행하는 웹 도구 구현

• 초기 구현은 Rust와 nalgebra를 사용했지만, 선형 방정식 풀이 기능은 사실상
  를 요구함f32

또는f64

• 부동소수점은 실용적으로 충분하지만 각 계산 단계에서 오차가 생길 수 있음

• 행렬 크기와 연산 횟수가 작고 고정적이어서 속도 최적화보다 정확한 계산을 선택함

• 연산이 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈뿐이므로 입력이 유리수이면 결과도
  유리수임- num_rational로 정수 쌍을 이용한 정확한 연산을 구현함

• 오버플로 검사를 켠
  i128

이면 15×15 행렬에 충분했고, 5×5에는i64

로도 충분했음

• 매개변수를 바꾸려고 소스 코드를 편집하는 대신
  브라우저 GUI를 제공하기로 함- Rust를 WebAssembly로 컴파일할 수 있지만, Rust와 WebAssembly만으로 GUI를 만들기에는 도구가 아직 충분히 좋지 않았음

• JavaScript/TypeScript GUI와 WebAssembly를 연결하면 많은 매개변수 때문에 연결해야 할 API 범위가 커짐

• 결국 전체를
  TypeScript로 재작성함- 내장 BigInt, Factoriolab의 공개 rational 라이브러리, 직접 만든 범용 행렬 라이브러리를 사용함

• React를 새로 배우는 대신 VanJS로 반응형 UI를 구성하고, Vite로 TypeScript 처리와 저장 시 새로고침을 지원하는 개발 서버를 운영하며, Grebedoc으로 정적 파일을 호스팅함

• factoqual은 품질 업사이클링 공장을 계획하는
  대화형 계산기이며, 소스 코드도 공개되어 있음 - 기존 품질 계산에는 반복 근사 방식이 있었으며,
  평형 방정식으로 정확한 해를 구하는 방식이 새로운 접근인지는 확정되지 않았음