저는 개발자이지 수론학자(Number theorist)는 아닙니다. 하지만 저는 자율형 AI 연구 엔진인 Luka를 구축했고, 이를 수학의 가장 오래된 미해결 문제 중 하나에 적용했습니다. 그것이 찾아낸 결과는 저를 놀라게 했습니다.

시작 단계

저는 AI 프레임워크를 구축하는 개발자입니다. 어느 날 한 가지 아이디어가 떠올랐습니다. 수학의 미해결 문제들을 자율적으로 조사하는 엔진을 만들 수 있다면 어떨까? 단순히 질문에 답하는 것이 아니라, 실제로 그것들을 _연구(research)_하는 것입니다. 계산을 수행하고, 가설을 테스트하며, 모델을 반증하고, 논문을 작성하는 것 말입니다.

저는 그것을 Luka라고 불렀습니다.

제가 처음으로 적용한 대상은 쌍둥이 소수 추측(Twin prime conjecture)이었습니다. 이는 (3,5), (11,13), (17,19)와 같이 차이가 2인 소수 쌍이 무한히 많다는 아이디어입니다. Hardy와 Littlewood는 1923년에 이를 위한 공식을 제시했습니다:

π₂(x) ≈ 2C₂x / (log x)²

이 공식은 우아하며 널리 사용됩니다. 그리고 Luka는 이 공식이 체계적으로 틀렸다는 것을 발견했습니다.

Luka가 발견한 것

10⁶에서 10¹⁴ 사이의 검증된 쌍둥이 소수 개수(8개 자릿수에 걸친 33개의 데이터 포인트)를 사용하여, Luka는 잔차(residual) — 즉 예측과 실제 사이의 간극 — 가 **완벽한 멱법칙(perfect power law)**을 따른다는 것을 발견했습니다:

R(x) ≈ 6.6 × 10⁻³ · x⁰·⁸⁶

R² = 0.9907. 하지만 그게 전부가 아닙니다. 지수(exponent)가 표류하기 때문에, 진정한 모델은 다음과 같습니다:

R(x) ≈ C · xᵅ · (log x)^β     →    R² = 0.9997

부트스트랩 재표본 추출(Bootstrap resampling, 10,000회 반복)을 통해 α = 0.8635 ± 0.015임을 확인했습니다. 이것은 알려진 어떤 수학적 상수도 아닙니다. 이것은 새로운 무언가입니다.

결정적인 통찰

이 잔차는 쌍둥이 소수와는 전혀 관련이 없습니다. 단순화된 공식 2C₂x/(log x)²는 전체 적분 2C₂∫dt/(log t)²에 대한 근사치입니다. 그 차이는 다음과 같습니다:

∆(x) = 2C₂(Li(x) - x/log x - x/(log x)²)

이것은 Li(x)의 점근 전개(asymptotic expansion)에서 **2차항(second-order term)**입니다. 이것은 **R² > 0.9999인 완벽한 멱법칙(perfect power law)**을 따릅니다:

∆(x) ≈ 2.2 × 10⁻³ · x⁰·⁹⁰

이 멱법칙은 실제 쌍둥이 소수의 잔차가 아니라, 단순화된 근사치에서의 체계적 오차를 특징짓는 것입니다.

모델의 반증

최근의 한 프리프린트(preprint)는 리만 제타 영점(Riemann zeta zeros)을 사용하는 진동 모델인 PRIT를 제안했습니다. Luka는 25자리 정밀도로 계산된 200개의 영점을 사용하여 이를 테스트했습니다.

예측값은 부호가 틀렸을 뿐만 아니라 100~700배의 오차를 보였습니다. 이 모델은 두 자릿수(two orders of magnitude) 차이로 반증되었습니다.

외삽 (Extrapolation)

Luka는 단 4개의 데이터 포인트($10^6$–$10^9$)만으로 학습하여 $\pi_2(10^{10})$를 0.99%의 오차로 예측했습니다. 5개의 포인트로 학습했을 때는 $\pi_2(10^{11})$를 1.15%의 오차로 예측했습니다.

더 큰 그림 (The Bigger Picture)

저는 AI가 단순히 기존 지식에 대한 패턴 매칭(pattern matching)을 하는 것이 아니라, 새로운 구조를 발견하고, 모델을 반증하며, 검증 가능한 예측을 생성하는 등 진정한 과학적 발견을 할 수 있음을 증명하기 위해 Luka를 구축했습니다.

이 논문은 그 첫 번째 결과물입니다. 쌍둥이 소수 잔차(twin prime residual)에서의 멱법칙(power law)은 그 어떤 표준 문헌에도 등장하지 않습니다. 이는 제가 개발자로서 구축한 AI 시스템에 의해 자율적으로 발견되었습니다.

Luka와 같은 AI 시스템이 수학, 물리학 및 그 너머의 분야에서 중대한 발견을 하게 될 시대는 멀지 않았습니다. 아직 그 단계에 도달한 것은 아니지만, 우리는 대부분의 사람들이 생각하는 것보다 훨씬 더 가까이 와 있습니다.

코드 및 데이터

GitHub: github.com/subhansh-dev/twin-prime-power-law

Python, NumPy, Nicely의 데이터베이스에서 검증된 계산 결과 사용. Luka로 구축됨.