확률적 보간 (Stochastic Interpolation)을 통한 공분산 수축 (Covariance Shrinkage)

우리는 고차원 공분산 추정치 (high-dimensional covariance estimators)의 고전적인 수축 (shrinkage)을 소스 분포 (source distribution)와 타겟 분포 (target distribution) 사이의 매개변수화된 확률적 보간물 (parametric stochastic interpolant)에 대한 경험적 위험 최소화 (empirical risk minimization)로 재구성합니다. 이 형식주의 (formalism)는 알려진 수축 추정치들을 특수한 사례로 복구하며, 통계적 위험 (statistical risk)을 줄이기 위한 세 가지 뚜렷한 메커니즘을 밝혀냅니다: (i) 스케줄링 (Scheduling): 보간물 스케줄 (interpolant schedule)은 허용 가능한 공분산의 클래스를 결정하며, 따라서 달성 가능한 위험을 결정합니다. (ii) 흐름 맵 (Flow maps) 및 결합 (couplings): 단순한 구성은 분포 간의 독립성을 가정하는 것과 다름없지만, 특정 결합 구조 (예: 최적 운송 (optimal transport) 문제의 해)는 경험적 위험을 낮출 수 있습니다. 또한, 이러한 결합을 실현하는 비선형 흐름 맵 (non-linear flow maps)은 보간물 공분산을 경험적 추정치의 고유 기저 (eigenbasis)로부터 자유롭게 하여, 고유벡터 정규화 (eigenvector regularization)를 가능하게 합니다. (iii) 조기 종료 (Early stopping): 회귀된 벡터장 (regressed vector field)을 적분하여 정의된 추정치는 실제 보간물 분포의 근사를 통해 추가적인 편향-분산 트레이드오프 (bias-variance trade-off)를 제공합니다. 그런 다음 우리는 보간물의 신경망 추정기 (neural estimator)를 제안하고, 보간물 근사 오차 (interpolant approximation error) 측면에서 그 이차 위험 (quadratic risk)에 대한 상한 (upper bound)을 제시하며, 합성 실험 (synthetic experiments)을 통해 두 가지 모두를 검증합니다. 마지막으로, 우리는 이 추정기를 실제 신경 영상 데이터 (neuroimaging data)에 적용하여, 이 접근 방식이 실제 환경에서 제공하는 추가적인 정규화 능력 (regularization power)을 입증합니다.