이차 폐루프 제어를 위한 PAC-Bayesian 인증 (Certificates)

PAC-Bayesian 경계 (bounds)는 데이터 의존적 무작위 예측기 (randomized predictors)에 대해 유한 샘플 보장 (finite-sample guarantees)을 제공하지만, 학습 기반 제어에 이를 적용하는 것은 어렵습니다. 그 이유는 자연스러운 목적 함수가 이차 궤적 비용 (quadratic trajectory cost)이기 때문입니다. 이러한 손실 함수는 유계되지 않고 (unbounded), 립시츠 연속이 아니며 (non-Lipschitz), 응답 의존적 Chernoff 항 (response-dependent Chernoff terms)을 유발합니다. 우리는 선형 시스템의 폐루프 궤적 맵 (closed-loop trajectory map)을 직접적으로 드러내어 이차 제어 손실을 명시적 인증 (explicit certification)이 가능하게 만드는 시스템 레벨 합성 (System Level Synthesis, SLS) 파라미터화를 채택합니다. 또한, 우리는 실행 가능한 폐루프 응답 (feasible closed-loop responses)에 대한 사후 분포 (posterior distributions)를 위한 일련의 PAC-Bayes-Chernoff 인증을 제공합니다. 임의의 공분산을 가진 가우시안 교란 궤적 (Gaussian disturbance trajectories)에 대해, 우리는 정확한 단측 가우시안 변환 (one-sided Gaussian transform)과 폐루프 민감도 양 (closed-loop sensitivity quantities)을 통해 표현되는 다루기 쉬운 이차 상한 (quadratic upper bound)을 도출합니다. 우리는 또한 점별 폐루프 응답 인증을 사용할 수 없거나 그 지지 집합 (support)이 허용 가능성 (admissibility) 문제와 관련이 있는 설정들을 위해 사후 국소화된 대리 함수 (posterior-localized surrogate)를 도출합니다. PAC-Bayes는 비퇴화 사후 분포 (non-degenerate posterior)를 인증하지만, SLS 손실의 볼록한 이차 형식 (convex quadratic form)은 인증을 사후 평균 응답 (posterior mean response)으로 전달합니다. 우리는 경계 내에서 확률적 사후 분포를 유지하면서도 제어에 특히 적합한 결정론적 평균 응답 배포 (deterministic mean response deployment) 결과를 제시합니다. 추가적으로, 우리는 오라클 경계 (oracle bound)에서 벗어나 이 배포에 대한 데이터 기반 경계를 제공합니다. 이 경계를 최소화하는 것은 자연스럽게 데이터로부터 제어 선택을 위한 학습 알고리즘으로 이어집니다. 이중 적분기 (double integrator)에 대한 수치 실험 결과, 이 알고리즘은 민감도 인식 유한 샘플 정규화 도구 (sensitivity-aware finite-sample regularizer)로 작동하여, 데이터가 적은 상황 (low-data regime)에서 홀드아웃 비용 (held-out cost)을 개선하고 폐루프 민감도를 감소시킴을 보여줍니다.