스칼라 시계열로부터 일시적 혼돈(Transient Chaos)을 추적하기 위한 통합 기하학 가이드 ML-FTLE

지배 방정식(governing equations) 없이 스칼라 관측값으로부터 일시적 혼돈(transient chaos)을 탐지하는 것은 비선형 역학(nonlinear dynamics)에서 근본적인 과제입니다. 본 연구에서는 급격한 체제 전환(regime shifts)을 추적하기 위해 예측 궤적 발산(predictive trajectory divergence)과 거시적 어트랙터 형태(macroscopic attractor morphology)를 통합하는 기하학 가이드 머신러닝(geometry-guided machine learning) 프레임워크를 제안합니다. 이 방법론은 표본 외 k-최근접 이웃(out-of-sample k-nearest neighbor) 예측 오차를 통해 국소 불안정성 척도(local instability scale)를 추출하여 ML-FTLE 추정치를 구축하며, 이후 이 시간적 발산을 Poincare 점유 그리드(Poincare occupancy grids)의 최소 사전(minimal dictionary)에서 유도된 구조적 근접성 행렬(structural closeness matrix)에 매핑합니다. 부분 최소 제곱 회귀(partial least squares regression)를 사용하여 경험적 유한 시간 리아푸노프 스펙트럼(empirical finite-time Lyapunov spectrum)에 직접 보정된 잠재적 기하학적 성분(latent geometric component)을 추출함으로써, Poincare 기반의 기하학 가이드 FTLE를 산출합니다. 분석적 QR-FTLE 베이스라인과의 검증을 통해, 위상적 상태 공간(topological state spaces)과 예측 발산을 결합하는 것이 연속적 전환 추적을 체계적으로 개선함을 확인했습니다. 구조적 유사도 지수(Structural Similarity Index)는 점진적인 감쇠(gradual damping)를 최적으로 해결하며, Hausdorff 거리(Hausdorff Distance)는 급격한 위상 공간 붕괴(phase-space collapses) 동안 극도의 탄력성을 보여줍니다. 또한, 거시적 공간 이산화(macroscopic spatial discretization)는 가산 가우시안 노이즈(additive Gaussian noise)에 대해 강력한 위상적 정규화 도구(topological regularizer)로 작용하여, 중간 정도의 신호 임계값에서도 결정론적 특징(deterministic signatures)을 보존합니다. 이 방정식 없는(equation-free) 프레임워크는 복잡한 비정상 시스템(non-stationary systems)의 구조적 전환을 모니터링하기 위한 매우 정확하고 노이즈에 강한 진단 도구를 제공합니다.