소산적 지식-역학 모델의 식별 가능성: 설계된 여기 하에서의 정확한 복구, 관찰 데이터에서의 퇴행

인간 학습은 소산적 동역학 과정입니다. 숙달은 연습을 통해 축적되고, 망각을 통해 감소하며, 상호 의존적인 개념들 사이로 전파됩니다. 우리는 이를 매개변수가 기계적으로 의미 있는 비선형 소산적 상미분 방정식(ordinary differential equations) 시스템으로 모델링합니다 (개념-전이 행렬은 선행 조건 결합, 개념별 망각률, 포화되는 연습-반응 게인을 인코딩함). 그리고 이 매개변수들이 실제로 데이터로부터 복구될 수 있는 경우를 연구합니다. 우리는 명시적 여기(excitation) 조건 하에서 연관된 역문제에 대한 구조적 식별 가능성 정리(structural identifiability theorem)를 증명하며, 두 개념의 경우에 대해 단조성(monotonicity), 견고성(robustness), L-안정성(L-stability) 결과와 함께 구성적인 폐쇄형 공식 복구(constructive closed-form recovery)를 제시합니다. 우리는 소산적 부분 시스템을 위한 반암시적 L-안정 스킴(semi-implicit L-stable scheme)과, 궤적별 공식화(per-trajectory formulation)에 수치적으로 동등하지만 (비트 단위의 정확한 예측, $10^{-10}$까지의 기울기), 두 자릿수 더 빠른 배치 솔버(batched solver)를 도출하여, $10^5$명의 학습자 코호트에 대한 추정(estimation)을 실현 가능하게 만듭니다. 경험적 연구는 양방향입니다. 정리의 여기 조건 하에서는 합성 복구(synthetic recovery)가 정확합니다: 매개변수는 기계 정밀도까지, 선행 조건 구조는 $F_1 = 1.0$에서 나옵니다. 하지만 대규모 관찰 벤치마크에서는 그렇지 않습니다. 망각률이 주제 난이도와 상관관계($
ho= 0.83$)를 보이는 겉보기에 강력한 복구 결과는 네 가지 독립적인 통제(controls)에 의해 반박됩니다: 데이터의 시간적 순서를 파괴해도 살아남고, 고전적인 베이지안 기준선(Bayesian baseline)과 일치하며, 실제 타임스탬프 제거에도 영향을 받지 않습니다. 우리는 이를 모델의 정상 상태 구조(stationary structure)로 추적하고, 설계된 여기 부재 시 정리가 예측하는 퇴행(degeneration)임을 보여줍니다. 이 결과는 식별 가능한 영역과 식별 불가능한 영역 사이에 명확한 경계를 설정하며 해석 가능성 주장을 위한 검증 프로토콜을 제공합니다.