역방향 자동 미분(Reverse-mode automatic differentiation)은 일반적으로 각 소스 타입이 단일한 코탄젠트 타입(cotangent type)을 갖는 의미론적 설명(denotational account)으로 제시됩니다. 변형 타입(Variant types)은 유효한 코탄젠트 공간이 런타임에 선택된 분기(branch)에 따라 달라지므로, 이러한 단순 타입 표현을 방해합니다. 따라서 기존의 정확성 결과들은 원시 인덱스화된(primal-indexed) 코탄젠트 공간들의 계열을 사용하며, 이들의 자연스러운 내부 언어는 의존 타입(dependently typed)입니다. 우리는 동일한 종속성(dependency)이 일반적인 비종속 대상(nondependent target)에서 표현될 수 있음을 보여줍니다. 각 소스 타입의 코탄젠트 섬유(cotangent fibres)들은 공통의 주변 타입(ambient type)에 임베딩되며, 원시 인덱스화된 준동일성(idempotent)이 유효한 섬유를 선택합니다. 의미론적으로 이는 상수 계열 모델(constant-family model)에서 그 카루비 완성(Karoubi completion)으로 넘어가는 것에 해당합니다. 범주 $\mathcal C$와 정규 무한 기수 $\kappa$에 대해, 우리는 상수 계열 포함(constant-family inclusion)이 $\mathrm{Kar}(\mathrm{Copow}\kappa(\mathcal C)) \simeq \mathrm{Fam}\kappa(\mathcal C)$라는 동치로 확장되는 것이 $\mathcal C$가 코시 완전(Cauchy complete)이고 모든 $\kappa$-작은 계열이 공통의 수축 호스트(common retract host)를 갖는 경우에 정확히 성립함을 증명합니다. 또한, 우리는 결과적인 곱집합(coproducts)들을 명시적으로 구성합니다. 이 정리를 적용하여, 우리는 일반적인 대상 타입(ordinary target types), 투영자(projectors), 그리고 백프로파게이터(backpropagators)만을 사용하여 변형을 갖는 역방향 자동 미분에 대한 쌍카테시안 폐쇄 의미론(bicartesian closed semantics)을 얻습니다. 생성된 준동일성들을 분할하면 확립된 의존 의미론을 복구합니다. 따라서 의존 코탄젠트 계열과 투영자가 장착된 단순 타입 주변 코탄젠트는 동일한 의미론적 변환의 동등한 표현입니다.