TL;DR (3줄 요약)

• 랭글랜즈 프로그램 (Langlands Program)이란,
  수론·기하·물리라는 서로 다른 세계를 서로 번역해 주는, 수학의 대통합 시도입니다. - 본 기사는,
  **범주론 (Category Theory)이 왜 랭글랜즈 프로그램의 기반이 되는가?**를 대화편 형식으로 따라갑니다. -
  수식은 건너뛰어도 OK입니다. 이야기로서 즐길 수 있습니다.

본론에 들어가기에 앞서, 애초에 「랭글랜즈 프로그램」이란 무엇인가를 간단히 설명해 드리겠습니다.

문중에 등장하는 전문 용어는 이 기사 안에서 나중에 하나씩 해설해 드릴 예정이므로, 지금은 전체적인 분위기만 파악해 주시면 감사하겠습니다.

랭글랜즈 프로그램은 일상적인 개발에서 모델의 정밀도를 즉각적으로 향상시키는 종류의 것이 아닙니다. 본 기사를 통해 학습의 가속화나 추론 비용 절감과 같은 직접적인 효용을 얻을 수 있는 것도 아닙니다. 그러한 즉각적인 효과를 원하신다면, 전작인 라플라스 변환(Laplace Transform)에 관한 기사가 기대에 부응할 수 있을 것입니다.

그럼에도 불구하고, 머신러닝 (Machine Learning)에 종사하시는 여러분이 본 기사로부터 얻을 수 있다고 생각되는 것을 4가지로 정리하여 전달해 드립니다.

첫째, 「서로 다른 영역 사이를 번역하고 오가는」 발상의 가장 깊은 실례를 접하실 수 있습니다.

어떤 데이터를 다른 공간으로 사영(mapping)하여 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 푸는 ── 우리가 일상적으로 수행하고 있는 이 활동의 이론적인 도달점이 여기에 있습니다.

둘째, 논문이나 뉴스에서 접하는 용어의 전체상을 파악할 수 있습니다.

Geometric Langlands, 에탈 코호몰로지 (Étale Cohomology), 유도 범주 (Derived Category), $\infty$-범주 ($\infty$-Category), 토포스 (Topos), $S$ 쌍대 (S-duality)

── 이것들이 수학의 어디에 위치하며 서로 어떻게 연결되어 있는가.

개별적인 상세 내용까지 이해하지 못하더라도 전체적인 지도를 가지고 있다면, 언젠가 이러한 분야를 접했을 때 길을 잃지 않을 수 있습니다.

셋째, 범주론적 딥러닝 (Categorical Deep Learning)이라는 현재 진행형인 연구 영역의 토대를 볼 수 있습니다.

딥러닝의 다양한 아키텍처를 범주론의 언어로 통일적으로 재정립한다

── 그러한 시도가 지금 최전선에서 진행되고 있습니다. 본 기사는 그 원류에 있는 사고방식을 다루고 있습니다.

넷째, 「기초 연구가 시간이 흘러 실무의 토대가 된다」는 시간 감각을 얻을 수 있습니다.

지금 당연하게 사용되고 있는 자동 미분(Automatic Differentiation)이나 오차 역전파(Backpropagation)도 그 이론적인 연원을 거슬러 올라가면 수십 년 전의 추상적인 수학에 도달합니다. 랭글랜즈의 발자취는 그 가장 장대한 사례입니다.

눈앞의 성과에 쫓기기 쉬운 일상 속에서, 긴 시간의 척도로 사물을 보는 관점은 기술자로서의 판단을 조용히 뒷받침해 줄 것입니다.

랭글랜즈 프로그램이란, 언뜻 보기에는 서로 완전히 무관해 보이는 수학의 각 영역 사이에 깊은 곳에서 공통되는 구조(대응 관계)가 있는 것이 아닐까 ── 라고 예상하는, 예상들의 집합입니다.

구체적으로는, 수론 (정수나 소수, 방정식의 세계)과 조화 해석 (파동이나 대칭성을 가진 함수의 세계)이라는, 겉보기에는 전혀 무관한 두 세계 사이에 깊은 「대응표」(사전)가 있을 것이다 ── 라고 예상합니다.

엔지니어의 감각으로 치환하면 다음과 같이 표현할 수 있을지도 모릅니다.

완전히 다른 데이터 구조를 가진 두 시스템이 있고, 그 사이에 「구조를 유지한 채 변환하는 API」가 존재할 것이라고 예언하고 있는 것과 같습니다.

게다가, 그 변환을 통하면 한쪽에서는 풀지 못했던 문제를 다른 쪽에서는 풀 수 있다

── 그러한 이점까지 기대할 수 있습니다.

이 「변환하여 풀기 쉬운 세계에서 푼다」는 발상 그 자체는 전작 기사에서 라플라스 변환을 주제로 자세히 다루었습니다.

랭글랜즈 프로그램은 그 발상을 수학의 훨씬 더 깊은 곳까지 밀어붙인 것이라고 할 수 있습니다.

또한, 애초에 범주론이란 무엇이었는지 확인하고 싶으신 분은 아래 기사를 함께 참조해 주시기 바랍니다.

방금 랭글랜즈 프로그램을 **「언뜻 보기에는 서로 무관해 보이는 수학 영역 사이에 깊은 대응 관계가 있다」**고 예상하는 것이라고 설명했습니다.

입문용 설명으로는 이 표현으로 충분합니다.

하지만 더 정확하게는 약간의 제한을 두어야 합니다.

랭글랜즈 프로그램의 내용은 당초에는 조금 더 한정적인 것이었습니다.

구체적으로는 주로 수론 (Galois 표현)과 모듈러 형식·모듈러 표현 (조화 해석·표현론) 사이의 대응을 가리키는 것이었습니다.

그로부터 시작된 랭글랜즈 프로그램(Langlands Program)이 점차 기하학이나 물리학으로 그 사정(射程)을 넓혀간 것은, 후대의 발전(기하학적 랭글랜즈, 물리적 랭글랜즈)에 의한 것입니다.

정확히 말하자면, 우선 수론과 보형 형식(Automorphic form)이라는 특정 대응이 출발점에 있었고, 그로부터 대응의 망이 넓어졌다는 순서입니다.

또 한 가지, **「공통된 구조」**라는 말에 대해서도 보충 설명을 드리겠습니다.

랭글랜즈 대응은 "두 세계가 같은 구조를 공유하고 있다"기보다, "한쪽 세계의 대상이 다른 쪽 세계의 대상에 대응한다(양자를 잇는 사전이 있다)"라는 관계입니다.

본 기사에서는 직관적인 이해를 돕기 위해 「대응 관계」라고 표현하고 있습니다.

이상을 정리하면, 본 기사 서두의 설명은 일반인을 위한 도입부로서는 허용 범위 내에 있지만, 엄밀하게는 "수론과 보형 형식의 대응이 출발점이다"라는 점을 짚어두면 더욱 정확해집니다.

여기까지 읽으신 분들 중, 머신러닝(Machine Learning)이나 정보 처리에 종사하시는 분들은 이렇게 생각하실지도 모릅니다.

"순수 수학 이야기는 알겠다. 그런데 그것이 지금 내가 다루고 있는 AI나 양자 컴퓨터와 무슨 상관이 있는가?" 라고 말입니다.

랭글랜즈 프로그램은 오늘날 당장 무언가에 도움이 되는(예: AI 모델의 정밀도를 높이는 튜닝에 도움이 되는) 실용적인 도구는 아닙니다.

하지만, 그 발상의 차원에서는 양자가 지속적으로 연결된 관계에 있다고 받아들일 수도 있을 것입니다.

첫째, 「서로 다른 세계를 구조를 유지한 채 번역한다」는 사고방식 자체가 머신러닝과 같은 관점에 놓여 있다고 생각됩니다.

구체적으로는, 데이터를 어떤 공간에서 다른 공간으로 임베딩(Embedding)하여, 다루기 쉬운 형태로 만들어 처리하는 것

── 우리가 매일 하고 있는 일의 가장 깊은 이론적 도달점이 바로 랭글랜즈 프로그램이다라고 말할 수 있습니다.

둘째, **기하학적 랭글랜즈가 키워낸 도구들(범주론(Category Theory), 층(Sheaf), 유도 범주(Derived Category)와 같은 「구조를 다루는 언어」)**은 최근 심층 학습(Deep Learning)의 아키텍처를 통합적으로 기술하려는 연구에 실제로 사용되기 시작했습니다.

제각각으로 보이는 RNN이나 그래프 신경망(Graph Neural Network)을 범주론의 언어로 하나의 프레임워크로서 재정립하는 것

── 그러한 시도가 최전선에서 움직이고 있습니다(본문 제8막에서 자세히 다룹니다).

셋째, 양자 컴퓨터와의 연결성입니다.

이것은 물리학(게이지 이론의 S-쌍대(S-duality), TQFT)을 경유하여 기하학적 랭글랜즈와 결합되어 있습니다. 양자 정보의 이론적 토대 일부가 랭글랜즈와 같은 수학적 지층을 공유하고 있다는 이미지입니다.

**물리학과 수학을 잇는 TQFT(위상적 양자장론(Topological Quantum Field Theory))**에 대해서는 아래의 기사에서 자세히 다루었습니다.

이상의 세 가지 점 중 두 번째인 **범주론적 심층 학습(Categorical Deep Learning)**은 심층 학습 모델을 범주론의 언어로 레고 블록처럼 재조립하는 분야로, 당장 직접 다룰 수 있는 부분도 나타나기 시작했습니다.

이 「범주론으로 학습을 재조립한다」는 발상은 아래의 기사에서 자세히 살펴보았습니다.

이 기사 자체는 분야명으로서 **「응용 범주론(Applied Category Theory)」, 「Compositional Learning」, 「Backprop as Functor」**를 전면에 내세우고 있으며,

**「Categorical Deep Learning」**이라는 용어 자체는 제목에 사용하지 않았습니다. 하지만 다루고 있는 내용은 바로 이 분야(범주론적 심층 학습) 그 자체입니다.

실제로 본 기사(지금 여러분이 읽고 계신 이 기사)의 제8막에서 인용하고 있는 Gavranović의 박사 학위 논문 Fundamental Components of Deep Learning도 해당 기사의 참고 문헌에 포함되어 있습니다.

한편, 첫 번째와 세 번째 논점은 아직 "내일 당장 AI나 양자 컴퓨터로서 이용 가능한" 단계에는 2026년 7월 현재 도달하지 못했습니다.

하지만, 지금 내가 사용하고 있는 기술이 어떤 지층 위에 서 있는가?

── 그 조감도를 가지고 있는 것은, 긴 안목으로 기술을 선택하고 배우는 데 있어 분명 도움이 될 것입니다.

연구 동향과 논문에 대해서는 이 기사의 마지막 부분(제8막 및 「AI나 양자의 최전선에서도 관련 영역에 주목이 모이고 있습니다」 절)에서 다시 한번 소개해 드리겠습니다.

랑글랜즈 프로그램(Langlands Program)이라고 불리게 된 구상을 제안한 것은 캐나다 출신의 수학자 **로버트 랑글랜즈(Robert Langlands, 1936년생)**입니다.

1967년 1월, 당시 30세였던 랑글랜즈는 대수학자 **앙드레 베유(André Weil)**에게 17페이지 분량의 손으로 쓴 편지를 건넸습니다.

논문도, 공식적인 원고도 아닌 사적인 편지였습니다. 그곳에 후에 그의 이름으로 불리게 될 구상이 처음 쓰여진 것입니다.

랑글랜즈는 편지의 서두에서 이렇게 적었습니다.

“이것을 단순한 추측으로 읽어주신다면 감사하겠습니다. 그렇지 않다면, 아마 손에 쓰레기통이 있을 겁니다.”라고.

그만큼 대담하고, 당시에는 엉뚱해 보이는 예상이었던 것입니다.

랑글랜즈는 원래 해석학(Analysis) (파동이나 함수를 다루는 분야) 연구자였습니다.

그러다가 한 선배의 추천으로 **수론(Number Theory)**에 관심을 갖게 됩니다.

그때 그가 주목한 것은, '타원곡선 이론(Elliptic Curve Theory)'이라는 19~20세기 수론의 금자탑을 더 넓고 일반화할 수 없을까 하는 문제였습니다.

타원곡선 이론은 대략적으로 말해, “특정 종류의 수 세계의 대칭성이 아름다운 규칙으로 기술될 수 있다”는 아름다운 이론입니다.

다만, 그 아름다움이 성립하는 것은 대칭성이 '꼬이지 않은' 순수한 경우(가환적인 경우)에 한정되어 있었습니다.

랑글랜즈의 동기는, 이 이론을 대칭성이 복잡하게 꼬인 일반적인 경우(비가환적인 경우)까지 확장하고 싶다는 것이었습니다.

그리고, 그 열쇠가 '수론의 대상'과 '모형 형식(Highly Symmetric Special Function)'을 대응시키는 것에 있다고 간파한 것입니다.

이는 그에게 해석학에서 수론으로의 거대한 방향 전환이기도 했습니다.

보통 한 수학자의 예상은 증명되거나 반증되어 결국 결말을 맺습니다.

그런데, 랑글랜즈의 예상은 그렇게 되지 않았습니다.

이유는 세 가지가 있습니다.

첫째, 적용 범위가 너무 넓었기 때문입니다.

하나의 정리가 아니라, 수론・기하학・해석학・표현론을 아우르는 방대한 예상의 '그물망'이었기 때문입니다.

하나가 풀려도 그 너머에 또 다른 예상이 펼쳐져 있었습니다.

둘째, 실질적인 효용성이 있었다는 점입니다.

이 '대응표(Correspondence Table)'의 특별한 한 가지 예시를 증명하는 것이 350년간 미해결이었던 페르마의 마지막 정리 해결(와일즈, 1995년)로 이어졌기 때문입니다.

이 예상에, 수학자로서 평생을 바쳐 시간과 에너지를 들여 연구할 가치가 명확하게 입증된 것입니다.

발전편 ── 페르마의 마지막 정리는 어떻게 연결되었는가

'대응표의 특별한 한 가지 예시'가 왜 350년 난제 해결로 이어졌는가.

그 경위를 조금 소개해 드립니다.

핵심이 된 것은 **타니야마-이시마루 예상(Taniyama–Shimura Conjecture)**이라는 예상입니다.

이는 '모든 타원곡선은 모형 형식과 대응한다 (모형적이다)'라는 주장으로, 본문에서 말하는 '수론의 대상(타원곡선)과 모형 형식과의 대응' 즉,

── 랑글랜즈 프로그램의 특별한 한 가지 예시에 해당합니다.

연결은 다음 순서로 명확해졌습니다.

먼저 1980년대, 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)가 이렇게 지적했습니다.

'만약 페르마의 마지막 정리에 반례가 있다면, 그 반례로부터 매우 기묘한 타원곡선(프라이 곡선)을 만들 수 있다'고.

다음으로 켄 리벳(Ken Ribet)이 이 기묘한 타원곡선은 '모형적일 수 없다'는 것을 증명합니다.

즉, 만약 페르마의 반례가 존재한다면, 타니야마-이시마루 예상(모든 타원곡선은 모형적이다)이 깨진다.

── 둘은 양립하지 않는다는 것을 보여준 것입니다.

여기서 구도가 역전됩니다.

만약 타니야마-이시마루 예상이 옳다고 증명된다면, 페르마의 반례는 존재할 수 없다.

── 즉, 페르마의 마지막 정리가 옳다는 것이 됩니다.

수론의 미해결 문제가 '타원곡선과 모형 형식의 대응'을 증명하는 문제로 그 모습이 바뀐 것입니다.

그리고 1994년부터 1995년에 걸쳐, 앤드루 와일즈(Andrew Wiles)가 (마지막 난관에서는 리처드 테일러(Richard Taylor)의 협력을 얻어) 필요한 범위의 타원곡선에 대해 타니야마-이시마루 예상을 증명했습니다.

그 귀결로서, 350년간 미해결이었던 페르마의 마지막 정리가 마침내 증명된 것입니다.

즉, 페르마의 마지막 정리는 '수론의 대상과 모형 형식의 대응'이라는, 랑글랜즈적인 대응의 한 예시를 증명함으로써 풀린 것입니다.

추상적으로 보였던 '대응표'가 수학사에서 가장 유명한 난제를 깨부수는 실제 힘을 가지고 있었던 것입니다.

── 그것을 보여주는 무엇보다 확실한 증거입니다.

셋째, 타 분야로 「불꽃이 튀듯 번져 나간(飛び火した)」 것.

당초에는 수론(Number Theory)의 이야기였던 것이, 이윽고 기하학(기하학적 랭글랜즈)으로, 나아가 이론물리학(물리적 랭글랜즈)으로까지 확장되어 갔습니다.

서로 다른 분야의 연구자들이, 각자의 언어로 동일한 구조를 마주하게 된 것입니다.

이렇게 하여, **랭글랜즈 프로그램 (Langlands Program)**은 「랭글랜즈라는 개인 한 명이 품었던 예상」이 아니라, 전 세계의 수학자·물리학자들이 반세기 이상에 걸쳐 계속해서 매진하고 있는 하나의 거대한 연구 영역이 되었습니다.

지금은 「수학의 대통일 이론」이라고도 불리고 있습니다.

그리고 이 기사의 테마는, 이 장대한 구상을 지탱하는 토대가 사실은 「범주론 (Category Theory)」이 아닐까 하는 질문입니다.

그럼, 그 전체상을 지금부터 조금씩 살펴보겠습니다.

본론에 들어가기에 앞서, 앞으로 따라갈 100년의 흐름을 한 장의 지도로 만들어 두겠습니다. 세부적인 내용은 몰라도 괜찮습니다. 「이런 사람들이, 이런 순서로 바통을 이어왔다」라는 흐름만을 바라봐 주십시오.

이 기사는 가상의 대학인 「권봉(圏峰) 공과대학교」의 연구실을 무대로 한 대화편입니다.

등장인물은 학부생인 타로 군과, 범주론의 응용(응용 범주론)을 전공하는 남성 전임 강사 두 명입니다.

예상 독자는 대학 학부 교양 과정의 수학·물리학을 이수한 머신러닝 엔지니어, AI Research Scientist, 데이터 사이언티스트 여러분과 현대 수학에 깊은 관심을 가진 분들입니다.

수식이 나와도 그냥 건너뛰며 읽어도 괜찮도록 작성했습니다.

여기서 서두에 말씀드렸던 내용을 다시 한번 반복하여 말씀드리겠습니다.

랭글랜즈 프로그램은 내일 당장 머신러닝 모델의 정밀도를 높여주는 것이 아닙니다.

이 기사를 읽는다고 해서, 여러분이 수행하는 AI 모델의 학습 속도를 빠르게 하거나 추론 비용을 낮추는 테크닉을 얻을 수 있다고 기대할 수는 없습니다.

그러한 실리적인 이점을 원하시는 분들께는 아래의 전작 기사를 읽어보실 것을 권장합니다.

그럼에도 불구하고, Python으로 머신러닝을 작성하는 분들이 이 기사를 읽음으로써 얻을 수 있는 것을 네 가지 들어보겠습니다.

(첫 번째) 「서로 다른 세계 사이를 번역하여 오간다」라는 발상의 가장 큰 실례를 알 수 있습니다.

전작 기사에서는 어려운 계산을 쉬운 계산으로 번역하여 다시 원래대로 되돌리는 사고방식을 살펴보았습니다.

랭글랜즈 프로그램은 그 발상을 수론·기하학·물리학이라는, 얼핏 보기에는 완전히 달라 보이는 세 세계 사이에서 실현하려는 장대한 시도입니다.

머신러닝으로 비유하자면, 데이터를 어떤 공간에서 다른 공간으로 옮겨 다루는 조작은 일상적으로 이루어집니다.

그 「다른 공간으로 옮겨서 생각한다」라는 발상을 수학이 가장 깊은 곳까지 밀어붙이면 어디까지 갈 수 있는가.

그 도달점을 알 수 있습니다.

(두 번째) 매일 사용하고 있는 도구의 사고방식이 어디에서 왔는지 알 수 있습니다.

이 기사의 중심에 있는 것은, 20세기 수학이 「집합과 그 원소」로 생각하던 입장에서 「대상과 그 사이의 사(射, Morphism/Functor)」로 생각하는 입장으로 옮겨온 커다란 전환입니다.

이 전환은 함수형 프로그래밍(Functional Programming)의 타입과 함수의 파악 방식, 그리고 범주론을 의식한 설계 방식과 같은 뿌리를 공유하고 있습니다.

현대 소프트웨어 도구들이 왜 이러한 「함수적·범주론적」 형태를 띠고 있는지, 그 원류를 역사로서 따라갈 수 있습니다.

(세 번째) 「지금의 기초 연구가 수십 년 후의 실무가 된다」는 시간적 감각을 얻을 수 있습니다.

이미 널리 이용되고 있는 **자동 미분 (Automatic Differentiation)**이나 **오차 역전파법 (Backpropagation)**도 그 이론적 토대를 따라가 보면 수십 년 전의 추상적인 수학에 도달하게 됩니다.

랭글랜즈의 이야기도 분명 「지금 당장은 도움이 되지 않는 기초 연구」가 긴 시간을 거쳐 산업을 지탱하는 토대로 변해가지 않을까요.

단기적인 성과를 내는 데 쫓기기 쉬운 일상 속에서, 긴 시간 축으로 사물을 바라보는 관점은 시스템 아키텍처를 구축하는 업무나, 향후 각광받을 AI 알고리즘 기술 영역을 생각하며 AI Research Scientist 여러분이 논문 조사(Paper Survey)의 중점을 전략적으로 선택하실 때도 도움이 될지도 모릅니다.

여기서 AI·양자·암호의 동향에 관심 있는 독자분들을 위해 현황을 보충하겠습니다.

2026년 6월 말 현재, 랭글랜즈 프로그램 그 자체를 「공식 연구 테마」로 내걸고 있는 기업은 없습니다.

하지만 주변 영역 ── 표현론(Representation Theory)이나 수론(Number Theory)과 머신러닝(Machine Learning)의 접점, 그리고 물리학으로부터 유래한 연결고리

── 에는 주목이 모이고 있습니다.

먼저, DeepMind입니다.

이 회사는 표현론 수학자인 조디 윌리엄슨(Jordi Williamson) 등과 협력하여, Kazhdan-Lusztig 다항식이라는 표현론의 핵심적인 대상에 관한 공동 연구를 발표했습니다.

이는 랭글랜즈 프로그램(Langlands Program) 그 자체는 아니지만, 기하학적 랭글랜즈(Geometric Langlands)가 속해 있는 것과 동일한 「표현론·기하학」 영역입니다 (윌리엄슨 본인은 랭글랜즈 대응(Langlands Correspondence) 강의도 진행하고 있습니다).

Davies, A. 외 (2021) "Advancing mathematics by guiding human intuition with AI", Nature 600, 70-74. https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

Blundell, C., Buesing, L., Davies, A., Veličković, P., Williamson, G. (2022) "Towards combinatorial invariance for Kazhdan-Lusztig polynomials", Representation Theory 26, 1145-1191. https://arxiv.org/abs/2111.15161

다음으로, 수론 연구에서도, $L$함수나 랭글랜즈 프로그램을 심층 학습(Deep Learning)으로 탐구하는 연구 프로그램이 나타나고 있습니다.

하버드 대학교 수리과학·응용 센터(Center of Mathematical Sciences and Applications, CMSA)의 Mathematics and Machine Learning 프로그램(2024년 10월)에서는, $L$함수의 데이터를 뉴럴 네트워크(Neural Network)로 조사하는 실험이 랭글랜즈 프로그램의 문맥에서 보고되었습니다.

Harvard CMSA. "Mathematics and Machine Learning Program / Closing Workshop" (2024년 10월). https://cmsa.fas.harvard.edu/event/mmlworkshop_1024/

나아가, 머신러닝 연구자 스스로가 "머신러닝이야말로 랭글랜즈 프로그램과 같은 통일된 프레임워크가 필요하다"라고 논한 잘 알려진 에세이도 있습니다.

Rieck, B. (2020) "Machine Learning Needs a Langlands Programme" (기술 블로그 기사). https://bastian.rieck.me/blog/2020/langlands/

2024년에는 그 기하학적 랭글랜즈 추측(Geometric Langlands Conjecture) 자체가 게인즈고리(Gaitsgory)와 라스킨(Raskin)을 중심으로 한 9명의 팀에 의해 증명되었습니다 (5편, 800페이지가 넘는 대작).

이 증명은 일반 대중에게도 크게 보도되었으며, 물리학의 **$S$쌍대(S-duality, 전자기 쌍대)**와의 연결고리

── 바로 본문의 Physical Langlands

── 에도 다시 한번 주목받았습니다.

Gaitsgory, D., Raskin, S. 외 (2024) "Proof of the geometric Langlands conjecture I-V" (전 5편). https://arxiv.org/abs/2405.03599

Quanta Magazine (2024) "Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture" (해설 기사). https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/

양자 컴퓨터 및 암호와의 관계에 대해 한 가지만 정확히 보충하겠습니다.

**포스트 양자 암호(격자 암호, 동종 사상 암호 등)**를 랭글랜즈 프로그램과 직접 연결하는 것은 지나친 비약입니다.

양자와의 연결은 오히려 물리학(게이지 이론의 S-쌍대, TQFT)을 경유하는 흐름이 본줄기입니다.

이 물리학과 수학의 교차점에 대해서는 전작 시리즈에서도 다루고 있습니다.

함께 읽어보시면 지도가 더욱 명확해질 것입니다.

한마디로 말하자면, 이 기사를 통해 얻을 수 있는 것은 내일의 구현에 바로 사용할 수 있는 지식이 아니라, 여러분이 매일 사용하고 있는 기술이 어떤 역사 위에 서 있는지를 아는 것이며, 긴 시간의 폭으로 사물을 바라보는 관점입니다.

수식은 모두 건너뛰셔도 괜찮습니다.

하나의 이야기로서 즐겁게 읽어주신다면 감사하겠습니다.

전작 기사에서 우리는 범주론(Category Theory)의 실리적인 의미를 5가지 관점으로 정리했습니다.

• 추상화의 힘 (Yoneda Lemma, 요네다 보조정리)
• 라플라스 변환과 같은 계산 기법 (Duality, 쌍대성 · Category Equivalence, 범주 동치)
• 새로운 구조의 자연스러운 발견 (Adjunction, 인접 · Monad, 모나드)
• 통일적 시야를 통한 장기적인 발견
• 산업계 최첨단에서의 구현

그리고 마지막인 '장기적인 발견'의 예로서, Geometric Langlands Programme (기하학적 랭글랜즈 프로그램)에 대해 언급하겠습니다.

이 기사에서는 그 랭글랜즈 프로그램을 조금 더 깊이 파고들어 보겠습니다.

랭글랜즈 프로그램은 20세기 후반부터 현대까지 '수학의 대통일 이론'이라 불리는 장대한 구상입니다.

그리고 본 기사의 중심 질문은 다음과 같습니다.

"범주론은 랭글랜즈 프로그램의 기반이 될 수 있는가?"

본 기사에서는 이 "범주론은 랭글랜즈 프로그램의 기반이 될 수 있는가"라는 질문을, 집합론에서 함수적·범주론적 세계관으로의 전환, 에탈 코호몰로지 (Étale Cohomology), 유도 범주 (Derived Category), $\infty$-범주 ($\infty$-Category), 그리고 2024년 기하학적 랭글랜즈의 진전을 따라가며 고찰해 나갈 것입니다.

이 질문에 답하기 위해 우리는 다음과 같은 경로를 따릅니다.

먼저, 20세기 수학이 집합론을 기초로 하는 수학에서 함수적·범주론적 세계관을 기초로 하는 수학으로 깊이 전환되어 온 역사를 간략하게 정리합니다.

그 맥락 속에서, 프랑스 수학 공동체인 '부르바키(Bourbaki)'의 Éléments de mathématique 시리즈는 왜 1980년대 이후 거의 중단되었는가?

── 하나의 가설을 소개합니다.

그리고 부르바키의 중심 인물 중 한 명인 앙드레 베유(André Weil)를 거쳐, 그의 여동생인 철학자 시몬 베유(Simone Weil)에 대해서도 자연스럽게 접하게 될 것입니다.

다음으로, 랭글랜즈 프로그램의 세 가지 상(고전적, 기하학적, 물리적)을 정리합니다.

셋째, 범주론이 왜 랭글랜즈 프로그램의 기반이 될 수 있는지를 고찰합니다.

넷째, 타로 군이 여름 방학에 독일 뮌헨을 방문하는 소소한 이야기를 삽입합니다. 그곳에서 어떤 인물과의 만남이 있습니다.

마지막으로 현대 연구의 최전선을 소개합니다.

그럼, 시작하겠습니다.

이 막에서 알 수 있는 것: 본 기사의 중심 질문 ── "범주론은 랭글랜즈 프로그램의 기반이 될 수 있는가" ── 가 제시됩니다.

어느 날. 켄포 공과대학교의 연습실.

타로 군은 지난 대화로부터 시간이 조금 흐른 뒤, 다시 남성 전임 강사의 연구실을 방문했습니다.

노트에는 새로운 의문이 적혀 있었습니다.

타로 군:

선생님, 지난번에는 정말 감사했습니다.

『범주론은 실리적으로 어떻게 도움이 되는가』 ── 라플라스 변환적인 계산 기법, 5가지 관점, 라플라스의 악마와 현대 AI의 연결 ── 정리가 되었습니다.

오늘은 한 걸음 더 나아가 깊은 질문을 드려도 될까요?

전임 강사:

물론이지. 무엇이든 물어보렴.

타로 군:

최근 연구실 논문이나 해외 수학·물리 영상에서,

Geometric Langlands (기하학적 랭글랜즈)

라는 말을 자주 접합니다.

『수학의 대통일 이론』
『현대 수학의 가장 야심 찬 구상』
『범주론 없이는 정식화조차 할 수 없다』

등이라고 쓰여 있더라고요.

이것은 대체 무엇인가요?

그리고 범주론이 정말로 이렇게 장대한 구상의 기반이 될 수 있는 건가요?

전임 강사:

흠......

타로 군, 이것은 정말 깊고 본질적인 질문이다.

그리고 솔직히 말하자면, 이 질문에 완전히 답하기 위해서는 아마도 현대 수학의 가장 깊은 영역 전부를 시야에 넣어야 할 것이다.

하지만 오늘은 네가 응용 수학자로서, 머신러닝 엔지니어로서,

『랭글랜즈 프로그램이란 무엇인가?』

『범주론은 왜 그 기반이 될 수 있는가?』

를 어느 정도 정리할 수 있는 지도를 그려보도록 하자.

이 막에서 알 수 있는 것: 그 질문에 대한 결론이 먼저 짧게 제시됩니다.

전임 강사:

타로 군, 우선 네 질문에 단적으로 답을 해주마.

전임 강사는 화이트보드에 한 마디를 적었습니다.

단적인 답
랭글랜즈 프로그램은 20세기 후반부터 현대까지 이어지는
'수학의 대통일'의 가장 야심 찬 구상이다.
...

전임 강사:

이것이 당신의 질문에 대한 명쾌한 답변이다.

그다음으로, 이제부터 차근차근 살펴보도록 하자.

제3막에서는 20세기 수학이 집합론적 기초에서 범주론적(Category-theoretic)·함수적 세계관으로 전환되어 온 역사를 정리한다.

제5막에서는 랭글랜즈 프로그램(Langlands Program)의 세 가지 측면(고전적, 기하학적, 물리적)을 소개한다.

제6막에서는 범주론(Category Theory)이 왜 랭글랜즈의 기반이 될 수 있는지 고찰한다.

시간은 괜찮겠나?

타로 군:

"네. 오늘도 마지막까지 잘 듣겠습니다."

이 막에서 알 수 있는 것:

20세기 수학이 집합론에서 함수적·범주론적 세계관으로 이동해 온 흐름과, 그 상징으로서의 부르바키(Bourbaki)를 개관합니다.

전임 강사:

20세기 전반기, 수학의 기초는 집합론이었다.

칸토어(Cantor), 힐베르트(Hilbert), 체르멜로(Zermelo), 프랑켈(Fraenkel) ── 이들에 의해, '모든 수학은 집합의 언어로 다시 쓸 수 있다'라는 장대한 구상이 확립되었다.

그리고 이 구상을 가장 체계적으로 실현하고자 했던 것이 프랑스의 수학 공동체인 '부르바키(Bourbaki)'다.

전임 강사:

니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki)는 실존 인물이 아니다.

1935년, 프랑스의 젊은 수학자들이 설립한 필명(Pen name)을 사용하는 수학자 집단이다.

중심 멤버는,

• 앙리 카르탕(Henri Cartan)
• 클로드 슈바레(Claude Chevalley)
• 장 델사르트(Jean Delsarte)
• 장 뒤도네(Jean Dieudonné)
• 앙드레 베유(André Weil)