영상: 라플라스 변환이 유용하게 사용되는 이유
채널: 3Blue1Brown
길이: 23분 5초
출처: 자막 (수동, 영어)
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저는 스프링에 매달린 질량체와, 이 질량체가 앞뒤로 진동하는 외부 힘의 영향을 받는 간단한 시뮬레이션을 보여드리고 싶습니다. 만약 외부 힘이 없다면, 이 질량을 당겼다가 놓았을 때, 스프링은 특정한 자연 주파수(natural frequency)를 가지고 진동하려는 경향이 있습니다. 하지만 여기서는 마치 앞뒤로 부는 바람 같은 외부 힘을 추가하자, 그것은 뚜렷하고 관련 없는 주파수로 진동합니다. 제가 주목해주셨으면 하는 것은 처음에 매우 불규칙해 보이는 움직임이라는 점입니다.
움직임의 강도가 커졌다가 약해졌다가 다시 커지면서, 결국 리듬에 맞춰 안정화됩니다. 여기서 정확히 무슨 일이 일어나고 있을까요? 이 이상하고 들쑥날쑥한 초기 궤적(startup trajectory)을 수학적으로 어떻게 분석할 수 있을까요? 그리고 시스템이 제자리를 찾기까지 얼마나 걸릴지 예측할 수 있을까요? 그리고 그 리듬에 도달했을 때, 앞뒤로 진동하는 폭이 정확히 얼마나 클지 예측할 수 있을까요? 이처럼 많은 시스템들을 연구하는 가장 강력한 도구 중 하나가 바로 라플라스 변환(Laplace transform)입니다.
그리고 오늘 저는 이 도구를 사용해서 미분 방정식(differential equations)을 연구하고 동적 시스템(dynamic systems)을 분석하는 것이 실제로 어떻게 보이는지 보여드리고 싶습니다. 참고로, 이것은 라플라스 변환에 관한 일련의 세 번째 장입니다. 그리고 아주 간단히 복습하자면, 첫 번째 장에서 여러분과 저는 $e$의 $s imes t$ 형태를 가진 함수들에 익숙해졌고, 여기서 $s$는 복소수(complex number)입니다. 이 함수들의 출력값은 복소 평면(complex plane)을 따라 나선형으로 움직이는 것처럼 보입니다. 머릿속에 가지고 있어야 할 핵심 개념은 엔지니어들이 $s$-평면(s-plane)이라고 부르는 것인데, 이는 지수 부분의 항 $s$가 가질 수 있는 모든 가능한 값을 나타내는 복소 평면입니다.
핵심 아이디어는 평면의 각 점을 함수 $e^{st}$ 전체를 인코딩하는 것으로 생각하는 것이며, 주요 시사점은 $s$의 허수 값이 클수록 더 많은 진동을 가진 함수에 해당하고, 음의 실수부는 감쇠(decay)를 반영하며, 양의 실수부는 성장(growth)을 반영한다는 것입니다. 우리가 이것에 관심을 갖는 이유는 자연 속의 많은 함수들이 지수적인 조각들로 분해될 수 있기 때문이며, 따라서 우리는 그러한 분해가 어떻게 보이는지를 드러내는 기계가 필요합니다. 이것이 라플라스 변환(Laplace transform) 자체가 존재하는 핵심 동기이며, 지난 장에서 이에 대해 자세히 다루었습니다.
다시 한번 빠르게 요약하자면, 이 변환은 시간의 함수를 받아 새로운 언어로 번역하여 입력값이 복소수 $s$인 새로운 함수로 만듭니다. 지난번의 핵심 결론은 당신의 함수가 정말 지수적인 조각들로 분해될 수 있다면, 이 새로운 변환된 버전을 $s$-평면 위에 플롯했을 때, 그 플롯상의 극점(pole)들이 원래 함수 안에 숨겨져 있는 지수적 조각들에 해당한다는 것입니다. 기호적으로 이는 당신이 기억해야 할 두 가지 핵심 속성으로 귀결됩니다.
첫째, 만약 $e^{at}$와 같은 지수 함수를 넣으면, $ rac{1}{s-a}$로 변환되며, 이 표현은 마음속 눈에 $a$ 값 위에 극점을 가진 $s$-평면상의 함수처럼 보여야 합니다. 둘째, 이 변환은 선형(linear)입니다. 이것이 의미하는 바는 만약 당신이 함수의 스케일링된 합(scaled sum)을 가지고 그것들을 변환한다면, 이는 각 개별 함수에 변환을 적용한 다음 그 결과들의 동일한 스케일링된 합을 취하는 것과 같다는 것입니다. 따라서 예를 들어, 입력으로 들어오는 당신의 함수가 정말 지수 항들의 조합처럼 보인다면, 출력되는 것은 여러 다른 극점을 가진 표현식의 분수들의 합처럼 보입니다.
각 극점(pole)은 이러한 지수 함수 조각 중 하나를 반영합니다. 이 두 가지 속성만으로도 이것이 어떤 상황의 동역학에 대한 정성적인 감각을 얻는 데 얼마나 유용한 도구인지 엿볼 수 있습니다. 만약 시간이 지남에 따라 변화하는 시스템을 가지고 있고, 제가 곧 보여드릴 기법들을 사용한다면, 그 라플라스 변환(Laplace transform)을 찾을 수 있게 됩니다. 그리고 이 변환에서 허수 값을 가진 극점들을 보게 되면, '이봐, 어떤 종류의 진동이 있어'라는 것을 알려줍니다. 만약 그 극점들이 음의 실수 값을 가지면, 0으로 감쇠하려는 경향을 나타내지만, 양의 실수부를 가진 극점은 불안정성(instability)을 나타내어 0으로부터 폭발적으로 멀어지려는 경향을 의미합니다.
자주 물리학을 공부할 때, 동적 시스템을 설명하는 함수가 무엇인지 즉시 알지는 못하지만, 그것을 설명하는 미분 방정식(differential equation)은 알고 있습니다. 흥미로운 점은 이러한 미분 방정식에서 그 해의 라플라스 변환으로 직접 넘어갈 수 있는 방법이 있다는 것입니다. 이것은 페이지에 원을 그릴 수 있는 정확한 해를 찾는 중간 단계로 유용할 뿐만 아니라, 그 자체로 시스템을 의미 있게 표현하는 것(meaningful representation)이라는 점에서 똑같이 중요합니다. 이를 할 수 있는 능력은 기억할 가치가 있는 세 번째 핵심 속성에 의존하게 되는데, 이 속성은 라플라스 변환이 어떻게 미분 방정식을 대수학(algebra)으로 변환하여 풀기 더 쉽게 만드는지를 설명해 줍니다.
그 모습은 이렇습니다. 만약 어떤 함수 $f(t)$를 시간에 대해 미분하고, 그 도함수에 라플라스 변환을 취하면, 마치 원래 함수에 먼저 변환을 적용한 다음 그 결과에 $s$를 곱하는 것과 같은 효과가 나타납니다. 게다가 초기 조건($ ext{initial condition}$)의 값을 빼주는 추가 항이 있습니다. 즉, 시간 영역(time domain)에서의 미분은 주파수 영역(s domain)에서 곱셈으로 변환되는 것입니다.
이제 이것은 지수 함수에 대해 시간 영역에서의 미분(differentiation in time)이 $s$를 곱하는 것과 같다는 사실을 매우 상기시키는 것처럼 느껴져야 합니다. 그리고 궁극적으로 근본적인 이유가 같다는 것은 우연이 아닙니다. 처음 보기에는 이 규칙에서 작은 $-f(0)$ 항이 그렇지 않으면 매우 우아한 방정식에 짜증 나는 변덕처럼 보일 수 있지만, 실제로는 버그가 아니라 기능입니다. 이것을 미분방정식(differential equations)에 적용하면, 이 작은 변덕은 초기 조건(initial conditions)을 고려할 수 있는 내장된 방법을 의미합니다.
이제 여러분이 '왜 이 성질이 참인가요? 어디서 온 건가요? 정확히 어떻게 지수 함수를 미분하는 아이디어와 연결되어 있고, 애초에 그 $-f(0)$ 항은 어디에서 오는 건가요?'라고 묻는 것을 들을 수 있습니다. 물론 제가 설명해 드릴 것입니다. 사실 저는 이것을 설명할 세 가지 방법을 생각할 수 있지만, 잠시 보류하고 대신 이 성질을 실제로 어떻게 사용하는지 파고들겠습니다. 보여주고 싶은 예제는 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)에서 시작하며, 이는 여러분과 제가 두 장 전에 공부했던 것으로, 용수철 위의 질량(mass on a spring)을 상상할 수 있을 것입니다.
상기시켜 드리자면, 그 질량에 작용하는 힘의 한 구성 요소는 그것을 중간 위치로 당기는데, 그 강도는 중간 위치로부터 떨어진 거리에 비례합니다. 우리는 이것을 $-kx$로 씁니다. 또한 감쇠력(damping force)을 포함하는 것도 일반적인데, 이는 속도에 비례하는 강도로 이 질량의 움직임을 늦추는 역할을 하며, 여기에서도 또 다른 음의 비례 상수(negative proportionality constant)를 사용합니다. 그리고 모든 항들을 방정식의 한쪽으로 옮기면 대수학적으로 항상 매우 보기 좋게 끝납니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
추가적인 수정 없이도 이 방정식은 매우 친근한 선형 방정식입니다. 우리는 이것을 $e^{st}$를 대입하여 간단히 풀 수 있다는 점에 대해 모두 이야기했습니다. 이는 관점에 따라 좌절감을 주는 동기 부여 없는 추측이거나, 아니면 이러한 선형 방정식들은 항상 지수 해(exponential solution)를 가진다는 근본적인 사실을 배운 후 수행하는 확립된 절차일 뿐입니다. 이것은 이전 자료들이지만, 이번에는 질량에 작용하는 세 번째 힘이 있다고 상상해 보겠습니다. 일종의 외부 힘인데, 우리 예시에서는 왼쪽과 오른쪽으로 주기적으로 진동하는 코사인 함수(cosine function)와 같은 바람의 돌풍처럼 움직입니다.
중요한 점은 이 외부 힘의 주파수가 용수철의 고유 공진 주파수(natural resonant frequency)와 일반적으로 아무 관련이 없다는 것입니다. 그리고 이것은 우리가 이 채널에서 빛이 유리와 같은 매질 속에서 왜 느려지는지 연구했을 때 전에 나왔던 임의적인 예시가 아닙니다. 그 맥락에서, 우리가 비디오 깊숙이 들어갔을 때, 관련된 진동자는 재료 내부의 작은 전하였고 외부 힘은 들어오는 빛의 파동이었습니다. 더 이상 선형 방정식(linear equation)이 아닌 이러한 방정식을 마주했을 때, 풀기가 더 복잡해지는데, 여기에 일반적인 전략의 미리보기를 보여드리겠습니다.
하는 일은 모든 항에 라플라스 변환(Laplace transform)을 취한 다음, 그 결과를 풀어 변환된 해(transformed version of the solution)를 밝혀내고, 거기서부터 과정을 역변환하여 우리가 평소 사용하는 언어, 즉 시간 영역(time domain)에서 $s$ 영역이 아닌 해를 복구하는 것입니다. 좋습니다. 이것이 높은 수준의 개요인데, 이제 소매를 걷어붙이고 실제로 이 부분을 조각별로 진행해 보겠습니다. 일반적인 관례에 따라, 저는 $x(t)$의 변환을 $X(s)$로 작성하고, 방금 이야기했던 규칙을 사용하여 그 미분($ ext{derivative}$)의 변환은 $s$ 곱하기 $ ext{X}$ 빼기 초기 조건으로 나타날 것이며, 이것을 작은 $x_0$로 작성하겠습니다.
그리고 두 번째 미분은 어떻게 될까요? 이것은 잠시 멈춰서 연습 문제로 풀어볼 좋은 기회입니다. 기본적으로 방금 이야기한 핵심 규칙을 연속으로 두 번 적용하는 것과 같습니다. 한 번 적용하면, 두 번째 미분의 변환은 $s$ 곱하기 첫 번째 미분의 변환처럼 보이고, 거기서 초기 위치($x'(0)$)를 뺀 형태가 됩니다. 이 항은 초기 속도와 같으므로 $v_0$으로 표기하겠습니다. 이 부분이 전체 과정에서 초기 조건의 일부가 일종의 자동적으로 고려되는 지점입니다.
여기서부터는 그 미분의 라플라스 변환을 다시, 즉 $s$ 곱하기 $ ext{X}(s)$에서 초기 조건을 뺀 형태로 대입할 수 있습니다. 여기서 몇몇 항들을 분배하고, 원래 가지고 있던 식에 다시 대입하며, 여기에 다른 상수들인 $m$, $eta$, 그리고 $k$까지 가져오면, 크기는 크지만 완전히 비합리적이지는 않은 표현을 얻게 됩니다. 제가 여러분의 주의를 집중시키고 싶은 것은 여기 있는 세 개의 항입니다. 이 항들은 $ ext{X}(s)$의 구성 요소를 포함하고 있습니다. 이것들을 모두 더하고 전체 $ ext{X}$ 부분을 묶어내면, 깔끔한 이차 다항식을 얻게 됩니다.
만약 그것이 전부였다면 매우 간결하고 아름다웠겠지만, 우아함을 망치는 것은 이 모든 초기 조건 항들이 함께 따라오고 있다는 점입니다. 저는 이것들이 우아함을 망친다고 말하지만, 다시 한번 말씀드리자면 초기 조건을 통합하는 내장된 방식이 실제로 매우 좋다는 것을 지적하고 싶습니다. 나중에 추가되는 단계가 아니라는 것입니다. 그럼에도 불구하고, 깔끔한 초기 예시를 위해, 초기 위치와 초기 속도가 모두 0이라고 가정하여, 질량에 걸린 용수철이 완전히 정지 상태에서 시작한다고 합시다.
더 일반적인 해법을 위해서는 이러한 상수들을 유지하는 것이 좋을 수 있다는 점을 염두에 두세요. 이들을 무시하는 것의 장점은 라플라스 변환(Laplace transform)을 적용할 때 나타나는 특징적인 패턴을 보여준다는 것입니다. 즉, 미분 방정식(differential equation)의 이 부분, 위쪽에 있는 좌변(left-hand side)이 기본적으로 같은 상수들로 이루어진 일종의 거울상처럼 보이는 다항식(polynomial)으로 변환된다는 것입니다. 그리고 $x$ 두 번 미분($x''$)과 같은 고차 도함수(higher-order derivative)는 $s$의 어떤 거듭제곱, 이 경우 $s^2$로 변환됩니다.
이것이 바로 이 도구(tool)가 작동하는 본질입니다. 미분 표현식(differential expressions)이 다항식으로 바뀌고, 다항식은 우리가 대수학(algebra)을 수행할 수 있는 대상이기 때문입니다. 물론, 이 예시에서 흥미로운 점은 우변(right-hand side)에 다른 진동하는 힘(oscillating force)이 있다는 것이며, 코사인 표현식(cosine expression)의 라플라스 변환을 취하는 것은 이전 에피소드에서 우리가 자세히 다룬 내용입니다. 실제로는 이러한 내용을 암기하거나 찾아보게 되겠지만, 잠시 멈춰서 연습하기 좋은 기회라고 생각합니다. 코사인 표현식의 변환이 왜 두 개의 다른 극점(pole)을 가져야 하는지, 즉 이 경우 $ ext{i} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{i}$와 $- ext{i} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{}$라는 두 극점(pole)을 가져야 하는지 생각해보고, 이것이 지금 보고 있는 표현식의 분모 $s^2 + ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{} ext{}$와 일치하는지 빠르게 점검해 보세요.
