Muon과 같은 행렬 기반 최적화 도구 (Matrix based optimizers)는 언어 모델의 사전 학습 (pretraining) 속도를 상당히 높일 수 있지만, 표준적인 상수 결합 가중치 감쇠 (standard constant decoupled weight decay)를 사용할 경우 모델 크기와 데이터 규모가 커짐에 따라 AdamW 대비 이점이 줄어드는 것이 관찰되었습니다. 우리는 이 문제를 해결하는 간단한 최적화 도구 래퍼 (optimizer wrapper)인 Hyperball을 제안합니다. Adam 또는 Muon과 같은 기본 최적화 도구 (base optimizer)가 주어지면, Hyperball은 가중치 행렬 (weight matrices)과 그에 대응하는 최적화 업데이트 (optimizer updates)의 프로베니우스 노름 (Frobenius norms)을 고정된 상수로 설정합니다. 최대 1.2B 파라미터 규모의 Qwen3 스타일 모델에서, Muon Hyperball은 가중치 감쇠 (weight decay) 베이스라인 대비 20--30%의 토큰 등가 속도 향상 (token equivalent speedup)을 달성합니다. 또한 Hyperball은 결합 가중치 감쇠 (decoupled weight decay)와 비교했을 때 너비 (widths)와 깊이 (depths) 전반에 걸친 학습률 전이 (learning rate transfer)를 개선합니다. 이 방법은 가중치 감쇠 (weight decay)를 통한 학습이 오직 학습 하이퍼파라미터 (training hyperparameters)에만 의존하는 평형 가중치 노름 (equilibrium weight norm)으로 이어진다는 기존 이론에서 영감을 얻었습니다. 이 메커니즘을 통해 가중치 감쇠 (weight decay)는 각도 학습률 (angular learning rate), 즉 가중치 행렬의 방향이 얼마나 빨리 변하는지를 결정하게 됩니다.