우리는 2단계 샘플링 프레임워크에서 커널 기반 연산자 학습을 연구합니다. 이 프레임워크에서는 오프라인 커널 회귀 연산자가 입력-출력 쌍으로부터 목표 연산자의 이산화된 표현을 학습하고, 온라인 커널 재구성 연산자가 예측된 관측값으로부터 출력 함수를 복구합니다. 우리의 주요 이론적 기여는 훈련 쌍의 개수 $N$, 입력 관측값의 개수 $n$, 그리고 출력 해상도 $m$ 사이의 관계를 나타내는 명시적인 예산 할당 조건입니다. 이 조건은 대리 변수를 근사 데이터로부터의 재구성으로 해석하는 결합 오차 분석으로부터 도출됩니다. 이를 통해 전체 오차는 독립적으로 분석될 수 있는 재구성 기여분과 학습 기여분으로 분해됩니다. 그 결과, 우리는 $N$, $n$, 그리고 $m$이 수렴을 보장하고 오프라인 학습 오류와 온라인 재구성 오류의 균형을 맞추기 위해 어떻게 결합되어야 하는지를 설명하는 정량적인 스케일링 법칙을 얻습니다. 이로써 도출된 추정치들은 커널 기반 연산자 학습에 대한 이전 분석들을 확장합니다. 나아가, 우리는 평가 시점에 근본적인 편미분 방정식(PDE)의 지식을 통합하는 물리 정보 기반 확장을 도입합니다. 제약 조건을 커널 자체에 직접 인코딩하기보다는, 콜로케이션 포인트에서 PDE 잔차를 페널티화함으로써 온라인 재구성 단계를 증강시킵니다. 이 방법은 새로운 입력에 대해 재훈련이 필요하지 않습니다. 수치 실험들은 이론적 발견들을 보여주고 제안된 물리 정보 기반 재구성 전략의 효과성을 입증합니다.