저계수 행렬 최적화 (Low-rank matrix optimization)는 종종 Burer-Monteiro (BM) 정식화를 통해 수행되지만, 인수분해 계수 (factorization rank) $r$을 선택하는 것은 까다로우며 최적화 속도를 크게 늦출 수 있습니다. 우리는 목표 계수 (target rank)를 모르는 경우에도 최적화 효율을 향상시키기 위해 최적화 변수를 분해하는 방향-크기 분해 (direction-magnitude decomposition, DMD)라고 불리는 통합 프레임워크를 제안합니다. 우리는 두 가지 DMD 기반 접근 방식을 개발하고 행렬 인수분해 (matrix factorization)의 표준 문제에서 이들의 이론적 이점을 입증합니다. 첫 번째인 과매개변수화된 DMD (overparameterized DMD)는 필요한 것보다 더 큰 계수 $r$을 사용하며, $r$이 증가함에 따라 더 빠른 수렴을 누립니다. 두 번째인 재귀적 DMD (recursive DMD)는 과매개변수화된 DMD의 점진적 고유값 쌍 학습 (incremental eigenpair learning), 즉 saddle-to-saddle 동작에서 영감을 얻었습니다. 이는 과매개변수화된 DMD를 보완하며 더 낮은 메모리 및 계산 비용을 달성합니다. 두 접근 방식 모두 BM 정식화에 적용된 경사 하강법 (gradient descent)보다 지수적으로 더 빠릅니다. 행렬 인수분해 (matrix factorization), 센싱 (sensing) 및 완성 (completion)에 대한 수치 실험은 우리의 이론적 발견을 뒷받침하며 DMD의 실질적인 효과를 입증합니다.