우리는 Berner, Grohs, 그리고 Voigtländer (2023)의 연구를 바탕으로, 유한 정밀도 계산 (finite-precision computations) 및 $L^p$ 정확도 보장 하에서 점 평가 (point evaluations)를 통한 $\tanh$ 신경망 학습의 한계를 조사합니다. 우리의 접근 방식은 반복적인 $\tanh$ 활성화 함수 (activations)를 통해 날카롭게 국소화된 범프 함수 (bump functions)를 새롭게 구성하는 것에 기반합니다. 이 메커니즘을 사용하여, 우리는 유한 정밀도 설정에서 $m$개의 샘플에 기반한 어떠한 적응형 무작위 알고리즘 (adaptive randomized algorithm)도 샘플링 예산이 네트워크 파라미터 및 아키텍처의 크기에 따라 지수적으로 증가하지 않는 한, $L^p$ 노름 (norm)에서 몬테카를로 속도 (Monte Carlo rate)인 $O(m^{-1/p})$보다 높은 수렴 속도를 달성할 수 없음을 보여줍니다. 이 결과는 국소화된 범프 함수를 포함하는 클래스의 학습 가능성 (learnability)에 대해 유한 정밀도가 부과하는 근본적인 한계를 드러내며, ReLU 신경망에 대한 이전의 결과들을 $\tanh$ 설정으로 확장합니다.