양자 오컴 학습 (Quantum Occam Learning): 회로 기반 양자 학습을 위한 샘플 지원 표현력 (Sample-Supported

양자 기계 학습 (Quantum Machine Learning)의 핵심 원리는 안사츠 (ansatz)가 관심 있는 양자 데이터를 표현할 수 있을 만큼 충분히 표현력이 있어야 한다는 것입니다. 그러나 표현력 (expressibility)은 미지의 양자 상태 (quantum state)로부터 유한한 수의 복사본을 통해 학습할 수 있는 범위 내에서만 통계적으로 의미가 있습니다. 본 연구에서는 유한 크기의 양자 회로 (quantum circuits)에 의해 생성된 양자 데이터를 위한 정보 이론적 오컴 이론 (information-theoretic Occam theory)을 개발합니다. 최대 $G$개의 2-큐비트 게이트 (two-qubit gates)로 준비 가능한 $n$-큐비트 순수 상태 (pure states)의 클래스 $S_{n,G}$에 대해, 메트릭 엔트로피 (metric-entropy) 논증은 회로 제한 영역 (circuit-limited regime)에서 실현 가능한 샘플 법칙 $\widetilde\Theta(G/\epsilon^2)$을 제시합니다. 임의의 소스 $\hat\rho$에 대해, 우리는 최적의 $G$-게이트 근사 오차 $d_G(\hat\rho)$와 근사 회로 복잡도 (approximate circuit complexity) $C_\eta(\hat\rho)$를 도입합니다. 우리는 비가정적 양자 오컴 정리 (agnostic quantum Occam theorem)를 증명합니다: $M$개의 복사본이 있다면, 최적의 $G$-게이트 근사 오차에 통계적 패널티 $\widetilde{O}(\sqrt{G/M})$를 더한 범위까지 학습할 수 있습니다. 그런 다음, 데이터에 의해 정당화되는 회로 복잡도를 선택하는 오라클 부등식 (oracle inequality)을 갖는 적응형 모델 선택 정리 (adaptive model-selection theorem)를 통해 $G$를 미리 알 필요성을 제거합니다. 하한선 (lower bounds)을 일치시킴으로써 샘플 지원 표현력 법칙 (sample-supported expressibility law)을 도출합니다: 트레이스 거리 (trace-distance) 정확도 $\epsilon$에서, $M$개의 샘플은 로그 인자 (logarithmic factors) 및 $2^n$에서의 토모그래피 포화 (tomography saturation)를 제외하면 오직 $G_{\rm supported} \simeq M\epsilon^2$개의 게이트만을 지원할 수 있습니다. 따라서 회로 복잡도는 정적인 약속 (static promise)이라기보다 적응형 통계 자원 (adaptive statistical resource)이 됩니다. 우리의 프레임워크는 유계된 회로 복잡도 (bounded circuit complexity)를 양자 기계 학습을 위한 모델 선택 원리로 전환합니다.