시공간 신호 보간을 위한 느리게 변화하는 그래프에서의 저계수 업데이트 (Low-rank Updates in Slowly Time-varying

그래프 신호 처리 (GSP)의 핵심적인 가정은 노드 간의 쌍별 유사성 (pairwise similarities)을 포착하는 기저 그래프 (underlying graph)가 존재한다는 것이며, 이를 통해 노이즈 제거 (denoising)와 같은 작업을 위해 이 그래프를 기반으로 필터를 설계할 수 있습니다. 노드 간 유사성이 시간에 따라 진화하는 시공간 데이터 (spatial-temporal data)의 경우, 정적인 공간 그래프 (static spatial graph)만으로는 불충분합니다. 본 논문에서는 느리게 변화하는 쌍별 관계를 표현하기 위해, 시간에 따른 두 연속된 인접 행렬 (adjacency matrices) $P = W^{(2)} - W^{(1)}$의 그래프 변화를 저계수 행렬 (low-rank matrix)로 모델링합니다. 구체적으로, $t=1$ 시점의 초기 인접 행렬 $W^{(1)}$이 주어졌을 때, $x_2$에 대한 그래프 신호 매끄러움 사전 확률 (graph signal smoothness prior)과 $P$에 대한 저계수 사전 확률 (low-rank prior)을 모두 사용하여 $x_2$ 신호를 공동 보간 (jointly interpolate)하고 $t=2$에서의 $W^{(2)}$를 추정합니다. 우리는 교대 최적화 (alternating optimization) 단계를 수행합니다. $W^{(2)}$가 고정된 상태에서 $x_2$는 선형 시스템 (linear system)을 풀어 보간됩니다. 반대로 $x_2$를 고정한 상태에서 $W^{(2)}$는 근사 구배 하강법 (proximal gradient descent, PGD)을 통해 업데이트됩니다. 계수 항 $Gamma(W^{(2)} - W^{(1)})$의 근사 사상 (proximal mapping)은 $W^{(1)}$의 고유벡터 (eigenvectors)들의 외적 (outer products)으로 형성된 사전 (dictionary) $cR$로부터 원자 (atoms)의 희소 조합 (sparse combination)을 선택하는 빠른 직교 매칭 추적 (orthogonal matching pursuit, OMP) 알고리즘을 사용하여 선형 시간 내에 근사됩니다. 우리는 제한된 데이터 기반 파라미터 튜닝을 위한 경량 신경망 (lightweight neural network)을 구축하기 위해 알고리즘의 반복 (iterations)을 레이어(layers)로 언롤링 (unroll)합니다. 실험 결과, 우리의 공동 최적화 (joint optimization) 방식이 기존의 시변 그래프 모델 (time-varying graph models)에 비해 더 나은 신호 보간 (signal interpolation) 성능을 달성함을 보여줍니다.