물리 정보 신경망 (PINN)을 통한 일반 매니폴드 상의 리만 확산 모델 (Riemannian Diffusion Models)

리만 확산 모델 (Riemannian diffusion models)은 매니폴드 상의 확률적 확산 방정식 (stochastic diffusion equations)을 통해 점수 기반 생성 모델링 (score-based generative modeling)을 매니폴드에 지지된 데이터 (manifold-supported data)로 일반화합니다. 그러나 학습을 위해서는 매니폴드 열 커널 (manifold heat kernel)로부터 샘플링하고 이를 미분해야 하는데, 몇몇 고도로 대칭적인 매니폴드를 제외하고는 열 커널이 닫힌 형태 (closed form)로 제공되는 경우가 드뭅니다. 본 논문에서는 물리 정보 신경망 (physics-informed neural network, PINN)을 사용하여 매니폴드 열 방정식 (manifold heat equation)을 직접 풀음으로써 열 커널을 근사하는 일반적인 접근 방식을 제안합니다. 명시적인 매니폴드 사양 (manifold specification)이 주어지면, 좌표계 (coordinate system)를 선택하고, 그에 상응하는 열 (Fokker--Planck) 방정식과 단시간 점근 근사 (short-time asymptotic approximation)를 유도한 다음, 로그 열 커널 (log heat kernel)을 학습하도록 PINN을 훈련합니다. 결과물인 대리 모델 (surrogate)은 순방향 노이징 (forward noising, 열 커널 샘플링)과 디노이징 점수 매칭 (denoising score matching)을 위한 조건부 점수 평가 (conditional-score evaluation)를 모두 가능하게 합니다. 우리는 $S^2$, $SO(3)$, $\mathrm{SPD}(n)$, 그리고 치환 몫 점구름 (permutation-quotiented point clouds)을 포함한 다양한 매니폴드에서 이 방법을 입증합니다.