영상: 무엇이 훌륭한 수학 설명을 만드는가? | SoME2 결과
채널: 3Blue1Brown
길이: 17분 1초
출처: 자막 (수동, 영어)

지난 한두 달 동안, YouTube의 매우 다양한 소규모 수학 채널들에 대한 관심이 눈에 띄게 증가했습니다. 제 친구 James와 저는 작년에 진행했던 대회인 Summer of Math Exposition (SoME)의 두 번째 반복 버전을 운영했습니다. 이 대회는 사람들이 수학에 관한 레슨을 온라인에 게시하도록 권장합니다. 그것은 영상일 수도 있고, 기사일 수도 있으며, 여러분이 상상하는 어떤 매체든, 여러분이 상상하는 어떤 주제든 상관없습니다. 그리고 저희는 어떤 의미에서든 가장 훌륭하다고 판단되는 작품들에 대해 몇 가지 상금을 제공합니다.

제출 마감일은 한 달 조금 넘게 지났으며, 영상 출품작에만 집중해 본다면, 그 이후로 집계된 조회수는 총 700만 회를 넘어섰습니다. 이 중 대다수가 영상이 첫 번째 혹은 두 번째 업로드인 매우 신생 채널들에 업로드되었다는 점을 고려하면, 이는 저에게 정말 흥분되는 일이었습니다. 이러한 상승세의 큰 이유 중 하나는 제출 마감일 이후에 저희가 동료 검토 (peer-review) 프로세스를 운영했기 때문이라고 생각합니다. 이 프로세스에서는 알고리즘이 참가자들에게 비교를 위한 두 개의 서로 다른 영상을 제공하면, 참가자들이 몇 가지 기준에 따라 어떤 영상이, 인용하자면,

작년 대회가 자신들의 첫 영상을 올리게 된 영감이 되었다고 말해준 한 그룹은, 두 대회 사이의 기간에 제작한 영상이 올해 대회의 피어 리뷰 (peer-review) 과정 동안 리뷰 대상 영상에 포함되지 않았음에도 불구하고 갑자기 조회수가 1,000회에서 600,000회로 급증했다고 저에게 언급했습니다. 이 모든 것은 공유된 목표와 공유된 마감일이라는 겉보기에 단순한 존재가 놀라운 가치를 가질 수 있음을 말해줍니다. 그리고 다시 말씀드리지만, 이것들은 영상 출품작들이며, 우리는 이러한 분석 (analytics)을 실행하여 도달 범위 (reach)를 빠르게 파악하기가 쉽습니다.

제가 가장 좋아했던 출품작 중 다수는 서면(written) 형태였습니다. 의심할 여지 없이 이 대회의 정신은 더 많은 사람들이 수학 강의를 내놓도록 하는 것이며, 그 측면에서 미션은 완수되었습니다. 하지만 저는 다섯 명의 우승자를 선정하겠다고 약속했습니다. 어떤 이유에서든 특히 가치 있다고 눈에 띄는 강의들을 선정할 것이며, 그것이 우리를 이 영상으로 이끌어 줍니다. 우승자를 선정하기 위해, 제임스(James)와 저는 피어 리뷰 (peer-review) 과정을 통해 결정된 100개 이상의 상위 출품작들을 몇 주 동안 꽤 철저하게 살펴보았습니다.

우리는 또한 우리의 편향 (biases)과 사각지대 (blind spots)가 너무 큰 역할을 하지 않도록, 이 중 일부를 살펴보는 데 도움을 줄 커뮤니티의 게스트 심사위원 몇 분을 모집했습니다. 시간을 내어주신 그분들께 정말 많은 감사를 드립니다. 영상이 끝날 때까지 최종 결정을 말씀드리지는 않겠습니다. 그 대신 제가 이 선정을 할 때 염두에 두었던 기준들을 이야기하며, 그 과정에서 가능한 한 많은 모범적인 제출물들을 강조하며 결론으로 나아가는 것이 더 재미있을 것 같다고 생각했습니다. 이를 통해 언젠가 온라인에 자신만의 수학 강의를 올리고자 하는 여러분에게 집중할 수 있는 몇 가지 구체적인 사항들을 제공할 수 있기를 바랍니다.

거시적인 관점에서, 제가 사람들에게 살펴보겠다고 말했던 네 가지 기준은 동기 부여 (motivation), 명확성 (clarity), 참신함 (novelty), 그리고 기억 용이성 (memorability)이었습니다. 앞의 두 가지가 아마 가장 중요할 것이며, 동기 부여 (motivation)부터 시작하겠습니다. 제가 생각할 수 있는 동기 부여 (motivation)에는 실제로 두 가지 의미가 있는데, 하나는 거시적 규모 (macro scale)이고 다른 하나는 미시적 규모 (micro scale)입니다. 거시적 규모의 동기 부여 (motivation)란, 수업 전체를 통해 사람들을 얼마나 잘 끌어들이느냐를 의미합니다. Alexander Berdnikov의 이 영상은 비행기가 다가오는 소리를 들을 때 왜 소리의 음높이 (pitch)가 서서히 낮아지는 것처럼 느껴지는지 질문하며 시작합니다.

그는 많은 사람이 이것을 도플러 효과 (Doppler effect)라고 가정하지만, 실제로 면밀히 조사해 보면 그렇지 않다는 점을 지적합니다. 예를 들어, 비행기가 당신에게서 멀어질 때 음높이 (pitch)는 실제로 상승하기 때문입니다. 이는 좋은 지적이며 흥미로운 질문으로, 제 주의를 집중시킵니다. 이번 배치 (batch)에서 제가 가장 좋아하는 기사 중 하나인 Adi Mittal의 글은 여러분이 휴대폰의 파노라마 기능 뒤에 숨겨진 알고리즘 (algorithm)에 대해 궁금해하도록 유도하며, 다음을 설명해 나갑니다: 1. 그것이 왜 사소한 문제가 아닌지, 그리고 2. 서로 다른 각도에서 촬영된 두 개의 겹치는 이미지를 이어 붙이는 DIY 스타일의 프로젝트에 포함된 선형 대수학 (linear algebra)과 사영 기하학 (projective geometry)에 대해 말입니다.

응용 (application)과 실질적인 문제들은 훌륭한 동기 부여 (motivation)가 될 수 있지만, 그것만이 유일한 동기 부여 (motivation)의 원천은 아닙니다. 타겟 청중 (target audience)에 따라, 잘 설계된 '너드 스나이핑 (nerd sniping)' 질문도 효과를 볼 수 있습니다. Going Null 채널의 이 영상은 겉보기에 불가능해 보이는 퍼즐로 시작합니다. 10명의 죄수에게 각각 총 10가지 유형의 모자 중에서 임의로 선택된 모자가 하나씩 주어집니다. 일부 죄수는 다른 사람과 같은 유형의 모자를 가질 수 있으며, 모든 사람은 다른 모든 사람의 모자를 볼 수 있지만 자신의 모자는 볼 수 없습니다.

다른 모든 사람의 모자를 살펴보고 생각할 시간을 조금 가진 뒤, 죄수들은 동시에 자신의 모자 유형에 대한 추측을 외쳐야 합니다. 문제는, 적어도 한 명의 죄수가 올바른 추측을 할 수 있도록 보장하는 방법을 찾을 수 있느냐는 것입니다. Eric Rowland의 이 영상은 $2^{10}$, $2^{100}$, $2^{1000}$과 같이 계속해서 커지는 $2$의 거듭제곱을 취하고, 각 자릿수에 서로 다른 색상을 할당하여 오른쪽으로 정렬했을 때, 지수가 커질수록 마지막 자릿수들이 점점 더 일치하게 되는 모습을 보여줌으로써 $p$-진수 ($p$-adic numbers)와 $p$-진 거리 ($p$-adic metric)의 개념을 동기 부여합니다.

그 후 그는 이 숫자들이 일반적인 의미에서는 분명히 무한대로 발산함에도 불구하고, 이를 일종의 수렴 (convergence)으로 해석하는 것이 타당한지 질문을 던집니다. 완전히 다른 형태의 동기 부여는 어떤 문제나 분야의 역사적 중요성을 보여줌으로써, 시청자에게 자신이 더 큰 무언가의 일부라는 느낌을 주는 것에서 올 수 있습니다. 'A Well-Rested Dog' 채널의 한 훌륭한 영상은 미적분학 (calculus)의 역사를 개괄하며, 세계에서 가장 똑똑한 인물들이 무한 (infinity)과 무한소 (infinitesimals)의 미묘한 차이들을 어떻게 씨름하며 발전시켜 왔는지 보여줍니다.

이 영상은 재미와 상세함이 적절히 섞여 있으며, 그는 이 모든 것을 배우는 과정이 미적분 수업에서 느꼈던 자신의 의문과 혼란을 정당화해 주었다고 이야기하는데, 이는 많은 학생이 공감할 수 있는 부분이라고 생각합니다. 이 예시는 영상의 도입부가 가르치는 교훈을 동기 부여하는 방식이라기보다, 영상 전체가 하나의 학문 분야 전체를 동기 부여하는 방식에 가깝습니다. 이와 유사한 또 다른 사례로는 'Thisery' 채널의 이 강의가 있는데, 이 강의는 칸토어의 대각선 논법 (Cantor's diagonalization argument), 정지 문제 (halting problem), 그리고 수학, 컴퓨터 과학, 논리학에서 사람들이 들어봤을 법한 여러 역설 (paradoxes)들이 모두 동일한 기본 패턴을 따르고 있음을 설명합니다.

게다가, 만약 이 역설들이 동일한 패턴을 따른다는 정확한 의미를 형식화(formalize)하려고 시도한다면, 그것은 범주론 (category theory)이라는 주제를 위한 매우 훌륭한 동기 부여가 됩니다. 제가 언급할 마지막 종류의 동기 부여는, 학습자가 수업에서 능동적인 역할을 수행하고 있다고 느끼게 만드는 것입니다. 이는 비디오로 구현하기는 매우 어렵고, 어쩌면 불가능할 수도 있으며, 대면 수업에 가장 적합합니다. 하지만 저는 이것을 특히 잘 해냈다고 생각하는 한 가지 글로 된 사례를 보았는데, 바로 역 튜링 테스트 (inverse Turing test)입니다. 여기서 독자인 당신은 무작위로 보이는 0과 1의 시퀀스를 만들어내라는 도전을 받게 되며, 기사는 그 시퀀스가 실제로 무작위가 아니라 인간이 생성한 것임을 증명하기 위해 적용할 수 있는 다양한 통계적 검정 (statistical tests)들을 설명해 나갑니다.

기사의 내용은 독자인 당신이 만든 특정 시퀀스를 중심으로 전개되며, 당신은 더 많은 검정을 통과시키기 위해 진행 과정에서 시퀀스를 변경해 보도록 권유받습니다. 이는 아주 멋진 요소이며, 저는 이것이 교실 활동으로서 매우 잘 작동할 것이라고 쉽게 예상할 수 있습니다. 당신이 어떤 접근 방식을 취하든, 어떤 종류의 동기 부여를 선호하든 간에, 시청자에게 실제로 관심을 가질 이유를 제공하는 것이 얼마나 중요한지는 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 이는 모든 콘텐츠에 해당되는 사실이지만, 교육용 콘텐츠에서는 특히 그렇고, 이러한 주제들이 때때로 요구하는 집중력과 사고의 양을 고려할 때 수학에서는 더욱 그러하다고 생각합니다.

저는 제가 가장 좋아하는 팟캐스트 중 하나인 'An Opinionated History of Mathematics'의 저자가 이를 가장 잘 표현했다고 생각합니다. 그는 자신의 웹사이트에 '학습의 공리 (axioms of learning)'라고 부르는 내용을 정리한 선언문을 게시해 두었는데, 첫 번째 공리는 다음과 같습니다. 인용구, "완벽한 세상에서 학생들은 학습이 부과되었기 때문이 아니라, 무언가를 알아내고자 하는 진정한 욕구 때문에 학습을 추구합니다. 따라서 우리는 학생들에게 그 주제를 추구하고 싶게끔 먼저 설득할 수 없는 주제를 도입해서는 안 됩니다."

그렇긴 하지만, 제가 지난 영상들에서 저질렀던 실수 중 하나는 영상의 도입부에서 지나치게 철학적인 논의를 늘어놓는 것이었다고 생각합니다. 동기 부여 (Motivation)는 매우 중요하지만, 반드시 오래 걸릴 필요는 없습니다. 시청자의 몰입을 실제로 유지하는 방법은 바로 본론으로 바로 들어가고, 더 넓은 주제나 연결 고리에 대한 논평은 마지막으로 미루는 경우가 많습니다. 가능하다면, 막연한 진술이나 앞으로 펼쳐질 내용에 대한 약속이 아닌 명확한 예시를 사용하여 동기를 부여하십시오. 제가 말하는 '미시적 동기 부여 (microscale motivation)'란, 수업 자체에서 도입되는 각각의 새로운 아이디어가 학습자에게 그 자리에 있어야 할 타당한 이유가 있는 것처럼 느껴지는지를 의미합니다.

예를 들어, Joshua Maros의 이 영상은 레이 트레이싱 (ray tracing)에 대해 상당히 상세한 개요를 제공하는데, 제가 이 영상에서 좋아하는 점은 그가 렌더링 방정식 (rendering equation), 중요도 샘플링 (importance sampling), 또는 ReSTER 알고리즘과 같은 새로운 기술적 주제를 도입하기 전에, 이미 매우 잘 시각화된 예시를 통해 해당 주제에 대한 핵심 아이디어와 직관을 설명해 두었다는 것입니다. 덕분에 방정식이 화면에 나타나거나 알고리즘이 설명될 때, 그것이 붙잡을 구석 하나 없이 하늘에서 뚝 떨어진 표현처럼 느껴지지 않습니다.

대신, 그 내용은 시청자의 마음속에 이미 최소한 느슨하게라도 존재하고 있는 무언가를 명확히 설명하는 시점에 등장하며, 이로 인해 내용을 파악하기가 훨씬 쉬워집니다. 팩토리얼 (factorial)을 확장하는 것에 관한 Michael DeFranco의 이 영상은 과정 중에 좋은 동기 부여가 포함된 수업의 또 다른 훌륭한 사례를 보여줍니다. 여러분은 팩토리얼을 실수와 심지어 복소수 입력으로 일반화하는 함수인 감마 함수 (gamma function)가 있다는 이야기를 들어보셨을 것입니다. 통상적인 정의는 마치 높은 곳에서 내려온 듯한 특정 적분식 (integral expression)으로 기술되며, 이것이 왜 팩토리얼을 일반화하는지에 대한 정당성은 여러분이 그 함수에 대해 증명할 수 있는 특정 속성들을 통해 이루어집니다.

하지만 많은 학생들은 이것이 만족스럽지 않다고 느낍니다. 이것은 어디에서 온 것일까요? 이와 대조적으로, Michael의 설명에서는 일반적인 팩토리얼 함수에 대해 참이며 일반화된 버전에서도 참이기를 원하는 속성들을 관찰하는 것부터 시작합니다. 그리고 이러한 원하는 속성들을 사용하여, 정수가 아닌 입력값에 더 적합하도록 여기저기 다듬어진 다양한 대안적 표현들을 유도하며, 궁극적으로 꽤 만족스러운 답으로 이끌어냅니다. 문제에 대한 매우 복잡한 해결책을 소개할 때 이러한 미시적 동기 부여 (microscale motivation)를 위한 또 다른 좋은 템플릿은, 순진하지만 결함이 있는 해결책으로 시작하여 이를 점진적으로 개선해 나가는 것입니다.

Max Slater가 작성한 미분 프로그래밍 (differential programming)에 관한 이 글은 이를 특히 잘 수행합니다. 핵심 질문은 머신러닝 (machine learning)에서 도처에 존재하는 작업인 미분 (derivatives)을 컴퓨터가 어떻게 계산하게 하느냐는 것입니다. 그는 가장 명백한 접근 방식을 설명하는 것으로 시작하여, 그것이 어떤 결함을 가지고 있는지 설명하고, 이를 다른 접근 방식을 위한 동기로 사용합니다. 하지만 그 방식 또한 자체적인 결함을 가지고 있으며, 이를 수정하는 과정이 또 다른 접근 방식을 유도하는 식으로 계속됩니다. 그가 구축해 나가는 아이디어인 이중 수 (dual numbers)와 역방향 모드 자동 미분 (backward-mode automatic differentiation)은 모두 갑작스럽게 제시된다면 다소 혼란스럽게 느껴질 수 있지만, 이전 방식의 결함을 지적함으로써 새로운 아이디어를 각각 동기 부여하는 맥락 속에서는 이 모든 것이 지극히 합리적으로 느껴지게 됩니다.