우리는 관측된 좌표를 0으로 설정하기 전과 후 모두 동일한 순방향 맵(forward map)을 적용하는 오토인코더에서의 재구성을 연구합니다. 입력 및 은닉 차원이 $d ext{에}$ 대해 홀수이고 $d ext{가} ext{3 이상일 때}$, 야코비안 특이값(Jacobian singular values)이 $[m,M]$ 범위 내에 존재하는 방향 보존 미분사상(orientation-preserving diffeomorphisms) 중에서 최소 균일 재구성 도함수 오차(least uniform reconstruction-derivative error)는 $\max{1-M(M-m)/2,0}$ 임을 보여줍니다. 아핀 맵(affine maps)은 모든 지정된 깊이에서 이 날카로운 경계에 도달합니다. 그럼에도 불구하고 평행 이동된 방사형 회전(translated radial rotation)은 특이값이 1에 임의로 가까운 어떤 지정된 구(prescribed ball)도 정확하게 재구성할 수 있으며, 이는 유한 데이터 경계(finite-data bound)를 위한 추가적인 조건을 동기 부여합니다. 우리는 이 예측을 798,452개 지점의 지구 LiDAR 산림 스캔에 테스트했습니다. 입력 스케일이 $0.05$일 때, 평균 이론적 경계는 $0.155$로, 네 개의 공간 영역, 두 개의 깊이, 세 개의 시드를 거친 평균 정규화 훈련 오차 $0.185$의 약 $84%$에 해당합니다. 이 스케일에서 은닉 좌표를 하나 추가하면 평균 재구성 오차가 $6 \times 10^{-6}$ 미만으로 감소합니다.