비디오: 굴절에 관한 시청자 질문 답변
채널: 3Blue1Brown
길이: 13분 24초
출처: 자막 (수동, 영문)

내용:
제가 마지막으로 올린 영상은 굴절률 (index of refraction)에 관한 것이었습니다. 그 영상에서는 빛이 매질 (medium)을 통과할 때 왜 느려지는지, 특히 왜 속도가 느려지는 정도가 색상에 따라 달라지는지에 대해 다루었습니다. 알고 보니 굴절률에 대해 많은 질문이 있었고, 이 보충 영상에서는 그중 몇 가지 질문에 답변해 보고자 합니다. 예를 들어, 이 굴절률이 어떻게 1보다 낮을 수 있는지에 대한 질문입니다. 이는 마치 어떤 물질을 통해 빛이 광속보다 더 빠르게 이동하는 것처럼 보이기 때문입니다.

본격적으로 시작하기에 앞서, 너무 많은 배경지식을 요구하지 않는 Kevin O'Toole 님의 질문을 먼저 다뤄보고자 합니다. 질문의 내용은 '왜 정확히 빛이 느려지는 것이 매질로 들어갈 때 굴절되는 것을 의미하는가?'입니다. 흔히 쓰이는 비유 중 하나는 자동차나 탱크를 생각하는 것입니다. 한쪽 면이 다른 쪽보다 먼저 느려지면서 차체가 약간 회전하는 식이죠. 이는 매우 직관적이고 기억에 남는 비유이긴 하지만, 빛에는 바퀴가 달려 있는 것이 아니며, 빛이 정확히 얼마나 굴절되는지를 설명하는 공식을 도출하기 위한 정량적인 (quantitative) 방법은 전혀 알려주지 않습니다.

더 나은 생각 방식이 여기 있습니다. 만약 유리와 같은 물질로 빛의 파동 (light wave)이 비춰진다면, 빛이 느려질 때 파동이 일종의 압축 (scrunched up)되는 현상을 주목해 보세요. 만약 진공에서의 파장 (wavelength)이 어떤 수치 $\lambda$였다면, 속도가 느려진 이 물질 내부에서의 파장은 그보다 더 작아집니다. 여기서는 파동을 1차원 선 위에만 그리고 있지만, 우리는 이를 최소한 2차원 상에서 이해해야 합니다. 예를 들어, 이 평면 위의 모든 점은 위아래로 진동하는 전기장 (electric field)의 작은 벡터 (vector)와 연관되어 있습니다.

이 특정 애니메이션은 다소 복잡하고 따라가기 어려울 수 있으므로, 대신 평면의 모든 점에 색을 칠하여 파동의 마루 (crests) 근처의 점들은 흰색으로, 마루에서 떨어진 점들은 검은색으로 표현한다면 더 명확할 것입니다. 이 마루들 사이의 거리를 통해 파장 (wavelength)을 여전히 명확하게 볼 수 있습니다. 이것은 우리가 이전에 보고 있던 것과 정확히 같으며, 단지 다른 방식으로 그려졌을 뿐입니다. 특히 유리 내부에서 파동이 어떻게 압축되어 있는지 주목해 보세요. 만약 그 유리가 비스듬한 각도로 놓여 있다면, 각각의 파동 마루들에 어떤 일이 일어날지 생각해 보십시오.

파동이 유리에 닿을 때, 아랫부분이 윗부분보다 먼저 느려지면서 마치 문질러진 듯한 형태가 됩니다. 이는 롤링 셔터 (rolling shutter) 효과를 약간 연상시키며, 결과적으로 파동 마루는 다른 각도에 위치하게 됩니다. 빛의 빔 (beam of light)에 대해 빔은 항상 이러한 파동 마루들에 수직이라는 사실을 고려하면, 이는 빛이 꺾여야 함을 의미하며, 나아가 빛이 정확히 얼마나 꺾여야 하는지 계산할 수 있음을 의미합니다. 진공 상태에서의 모든 파동을 생각하며, 그 사이에 어떤 파장 $\lambda_1$이 놓여 있다고 가정하고, 그 마루들이 진공과 유리의 경계면과 교차하는 모든 지점에 집중해 보십시오.

그런 다음 유리 내부의 파동 마루들을 고려해 보십시오. 만약 굴절이 일어나지 않는다면, 유리 내부의 파장이 더 짧기 때문에 모든 교차 지점을 보았을 때 그 지점들이 더 밀집되어 있어야 할 것입니다. 하지만 한쪽에서 보든 반대쪽에서 보든 교차 지점들은 모두 동일하므로, 당연히 그런 일은 일어날 수 없습니다. 따라서 이것이 성립할 수 있는 유일한 방법은 유리 내부의 파동 마루들이 다른 각도로 배치되는 것입니다. 모든 교차 지점이 일직선으로 정렬되는 최적의 각도를 찾기 위해, 머릿속으로 작은 노브 (knob)를 돌려 그들을 회전시키는 것을 상상해 볼 수 있습니다.

연습 문제를 좋아하는 분들이라면, 유리 내부와 외부의 파장(wavelength)을 파동의 마루(wave crests)와 경계면 사이의 각도와 어떻게 연관시키는지 알려주는 구체적인 방정식을 직접 써보는 시간을 가져볼 수도 있습니다. 만약 이를 수행한다면, 여러분이 적어 내려가는 것은 사실상 스넬의 법칙 (Snell's law)과 동일한 것이며, 단지 여기서 관련 각도들을 연결하고 속도와 파장이 서로 어떻게 의존하는지 기록하는 약간의 추가 작업이 필요할 뿐입니다. 제가 다루고자 하는 다른 질문들에 답하기 위해서, 우리는 메인 영상의 설명을 상당히 많이 활용할 것입니다.

저는 이곳의 사람들이 그 영상을 시청했을 것이라고 주로 가정하고 있지만, 핵심 사항들을 빠르게 요약해 드리겠습니다. 빛의 파동이 물질 내에서 느려진다고 말할 때, 실제로 일어나고 있는 현상은 파동이 해당 물질의 각 층과 상호작용하면서 파동의 위상 (phase)을 약간 뒤로 밀어내는 것입니다. 이렇게 무한소의 위상 킥 (phase kicks)이 연속적으로 이어지면, 수학적으로는 단순히 더 느리게 이동하는 파동과 동일한 결과가 만들어집니다. 이러한 위상 킥의 실제 메커니즘은 입사되는 빛의 파동이 물질 내의 전하 (charges)를 약간 진동하게 만드는 것입니다.

이러한 진동은 전자기장 (electromagnetic field) 내에서 그 자체의 전파를 생성하며, 이 새롭게 유도된 파동을 원래의 파동과 합치면, 해당 층을 지난 공간 영역에서의 합은 마치 원래 파동의 복사본이 약간 뒤로 밀려난 것처럼 보이게 됩니다. 마지막 핵심 사항은, 굴절률 (index of refraction)을 결정하는 요소인 이 위상 변화 (phase shift)의 크기를 알고 싶다면, 우리는 물질 내의 전하들을 선형 복원력 (linear restoring force)을 가진 특정 평형 위치에 결합된 단순 조화 진동자 (simple harmonic oscillators)로 모델링한다는 것입니다.

우리가 발견한 것은, 이와 같은 전하에 빛을 비출 때 진동의 진폭(amplitude of oscillation)이 해당 빛의 주파수(frequency)가 이 스프링 같은 복원력(restoring force)과 관련된 공명 주파수(resonant frequency)에 얼마나 가까운지에 따라 달라진다는 것입니다. 더 짧게 말하자면, 굴절률(index of refraction)은 빛이 물질 내의 전하들과 얼마나 공명하는지에 달려 있습니다. 이 설명이 이해를 돕는 한 가지 현상의 예로, Dan Stock이 질문한 '복굴절(birefringence)의 원인은 무엇인가?'를 살펴보겠습니다. 복굴절이란 물질이 두 개의 서로 다른 굴절률을 가져서, 그것을 통해 볼 때 물체가 두 개로 보이는 효과를 나타내는 현상입니다.

어떤 결정 구조(crystal structure)를 상상해 보십시오. 그 구조 내의 이온들을 한 방향으로 당길 때 작용하는 복원력이 다른 방향으로 당길 때의 복원력과 다르다고 가정해 봅시다. 즉, 한 방향으로의 진동에 대한 공명 주파수가 다른 방향으로의 진동에 대한 공명 주파수와 다르다는 것입니다. 이것이 의미하는 바는, 이 물질에 빛을 비출 때 굴절률이 공명에 의존하기 때문에, 위아래로 진동하는 빛에 대한 굴절률 값은 좌우로 진동하는 빛에 대한 값과 다를 것이라는 점입니다.

즉, 이는 빛의 편광(polarization)에 달려 있습니다. 그리고 이것은 실제로 일어나는 현상입니다. 지금 보고 계신 예시는 방해석(calcite)이며, 물체가 두 개로 보이는 이유는 한 가지 편광을 가진 빛이 다른 편광을 가진 빛보다 다른 비율로 굴절되기 때문입니다. 바버 폴 효과(barber pole effect)에 관한 영상을 보셨던 분들이라면, 매우 유사한 현상이 우리가 남겨두었던 마지막 질문에 대한 답이 될 것입니다. 영상을 보지 않으셨다면 자유롭게 건너뛰셔도 좋지만, 보셨다면 우리가 멈췄던 지점이 설탕이 우선성 원편광(right-handed circularly polarized light)을 좌선성 원편광(left-handed circularly polarized light)과 약간 다른 속도로 이동하게 만든다는 주장이었다는 점을 기억하실 것입니다.

그것이 중요했던 이유는, 이 두 성분의 합으로 표현될 수 있는 선편광 (linearly polarized light)이 한 성분이 다른 성분보다 뒤처짐에 따라 시간이 흐르면서 서서히 회전하게 된다는 것을 의미했기 때문입니다. 굴절률 (index of refraction)이 공명 (resonance)에 의존한다는 점을 이해하면, 왜 이런 현상이 발생할 수 있는지 이해하기 시작할 수 있습니다. 만약 설탕 (sucrose)의 분자 구조가 전자를 반시계 방향 성분을 가진 경로보다 시계 방향 성분을 가진 경로로 더 자유롭게 밀어낼 수 있는 구조라면, 우선성 원편광 (right-handed circularly polarized light)과의 공명이 좌선성 원편광 (left-handed circularly polarized light)의 공명과 약간 달라질 것이고, 따라서 각 편광에 대한 굴절률이 약간씩 달라지게 될 것입니다.

이 사실을 공명이 빛의 주파수, 즉 색상에 의존한다는 사실과 결합하면, 왜 그 바버 폴 효과 (barber pole effect)에서의 광학 회전 (optical rotation)이 색상을 그런 방식으로 분리했는지 궁극적으로 설명할 수 있습니다. 좌선성 및 우선성 원편광과 서로 다르게 공명할 수 있는 형태의 한 가지 예는 나선 (helix)이며, 실제로 사람들은 단일 방향성 (one-handedness)을 가진 라디오파를 수신하고 싶을 때 나선형 안테나 (helical antenna)를 사용합니다.

설탕 (sucrose)이 나선 (helix)만큼 깨끗하고 순수한 예시는 아닐지라도, 핵심적인 특성은 그것이 카이랄성 (chirality)을 가진다는 점입니다. 즉, 3차원 공간에서 방향을 재조정하더라도 거울상 (mirror image)과 똑같아질 수 없다는 점에서 거울상과는 근본적으로 다르다는 것을 의미합니다. 왜 이 특정한 구조가 다른 구조보다 단일 방향성 (one-handedness)과 더 잘 공명하는지에 대해서는 알지 못한다고 말씀드리겠지만, 적어도 원리적으로는 카이랄성이 이러한 현상에 기여한다는 것이 타당해 보입니다. 마지막으로, 결론을 맺으며 가장 흥미로울 수 있는 질문을 다뤄보겠습니다. 그것은 바로 굴절률 (index of refraction)이 어떻게 1보다 낮을 수 있는가 하는 점입니다. 왜냐하면 그것은 매질을 통과하는 빛의 속도가 빛의 속도보다 더 빠를 것이라는 점을 암시하는 것처럼 보이기 때문입니다.

실제로 이런 현상은 일어나며, 여러분이 생각하는 것만큼 황당한 일도 아닙니다. 우리 논의의 모든 것이 물질의 층이 파동의 위상 (phase)을 뒤로 밀어내는 (kick back) 방식에서 비롯되었다는 점을 상기해 본다면, 물질의 층이 파동의 위상을 앞으로 밀어내는 (kick forward) 것도 불가능할 이유는 없습니다. 그리고 이렇게 위상을 앞으로 밀어내는 연속적인 층이 많아지면, 파동의 마루 (crests)가 실제로 빛의 속도 $c$보다 빠르게 이동한다는 의미에서 빛이 빛의 속도보다 더 빠르게 이동하는 듯한 착각을 불러일으킵니다.

사실 이 모든 것의 밑바탕이 되는 수학을 풀어보면, 우리가 적어 내려간 핵심 진폭 (amplitude) 식이 0보다 작을 때마다 그것은 1보다 작은 굴절률에 해당합니다. 특히 빛의 주파수인 $\omega_l$이 우리 진동자 (oscillator)의 공명 주파수 (resonant frequency)보다 크다면 이러한 효과가 나타납니다. 예를 들어, 유리에 X선 (x-ray)을 비출 때 굴절률은 실제로 1보다 작습니다. 여기에는 인과율 (causality)과의 모순이 없으며, 이 모든 설명에서 속도 $c$가 수행하는 역할에 대해 잠시 생각해 볼 가치가 있습니다.

$c$는 가속되는 전하가 다른 전하에 힘을 유도하는 데 걸리는 시간을 결정하는 속도입니다. 경로에 물질이 있더라도, 그 물질의 굴절률 (index of refraction)이 1보다 크든 작든 관계없이, 한 전하의 영향이 다른 전하에 도달하는 데 걸리는 그 시간은 항상 두 전하 사이의 거리를 $c$로 나눈 값입니다. 이와 대조적으로, 굴절률과 관련된 속도는 해당 파동 중 하나의 파동 마루 (crest)가 얼마나 빨리 이동하는가 하는 것입니다. 이것을 위상 속도 (phase velocity)라고 합니다.

그 위상 속도가 파동이 얼마나 압축되는지를 결정하며, 이는 결과적으로 파동이 얼마나 굴절되거나 휘어지는지를 결정합니다. 이것이 바로 제가 이것을 '감속 지수 (index of slowing)'라고 부르기보다 '굴절률 (index of refraction)'이라고 부르는 것이 매우 적절한 용어라고 생각하는 이유 중 하나입니다. 일반적으로 유리와 같은 매질 내부의 전기장 (electric field)은 입사되는 빛의 파동과 함께, 해당 물질 내에서 흔들리는 모든 전하로부터 전달되는 수많은 전파되는 영향 (propagating influences)들이 믿을 수 없을 정도로 복잡하게 합쳐진 결과물입니다.

하지만 중요한 점은, 이 모든 개별적인 전파 (propagations)들은 결코 $c$보다 느리거나 빠르지 않으며 항상 $c$의 속도로 이동한다는 것입니다. 이들이 결합되는 방식이 조금이라도 단순하게 설명될 수 있다는 것, 그리고 그것이 엄청나게 다루기 힘든 난잡한 상태가 아니라는 사실은 기적과도 같습니다. 하지만 우리는 운이 좋게도, 이들을 모두 합쳤을 때 그 순 효과 (net effect)를 깔끔하게 설명할 수 있으며, 그것은 마치 위상 속도가 우연히 $c$와 다른 사인파 (sine wave)처럼 보입니다. 만약 이러한 파동 마루들이 $c$보다 빠르게 이동하는 것이 매우 이상하게 느껴진다면, 이 모든 설명이 모든 상황이 정상 상태 (steady state)에 있다는 점에 매우 크게 의존하고 있다는 사실을 염두에 두어야 합니다.