동영상: 고윳값 (eigenvalues)을 계산하는 빠른 요령 | 제15장, 선형대수학의 본질 (Essence of linear algebra)
채널: 3Blue1Brown
길이: 13분 12초
출처: 자막 (수동, 영문)

이 영상은 고윳값 (eigenvalues)과 고유벡터 (eigenvectors)가 무엇인지 이미 알고 있는 분들, 그리고 2x2 행렬의 경우 이를 계산하는 빠른 방법을 즐기고 싶어 하는 분들을 위한 영상입니다. 만약 고윳값 (eigenvalues)이 생소하시다면, 실제로 고윳값을 소개하기 위해 만들어진 이 영상을 먼저 확인해 보시기 바랍니다. 그저 요령(trick)만 보고 싶다면 건너뛰어도 좋지만, 가능하다면 여러분 스스로 그 요령을 재발견해 보셨으면 합니다. 이를 위해 약간의 배경 지식을 살펴보겠습니다. 빠르게 복습하자면, 어떤 선형 변환 (linear transformation)이 주어진 벡터에 미치는 영향이 해당 벡터를 어떤 상수만큼 스케일링 (scale)하는 것이라면, 우리는 이를 변환의 고유벡터 (eigenvector)라고 부르고, 관련 스케일링 인자 (scaling factor)를 해당 고윳값 (eigenvalue)이라고 부르며, 흔히 그리스 문자 람다 ($\lambda$)로 표기합니다.

이를 방정식으로 쓰고 약간 재배열해 보면, 만약 숫자 $\lambda$가 행렬 $A$의 고윳값 (eigenvalue)이라면, 행렬 $A - \lambda I$ (여기서 $I$는 단위 행렬)는 어떤 0이 아닌 벡터, 즉 그에 대응하는 고유벡터 (eigenvector)를 영벡터 (zero vector)로 보내야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이는 결과적으로 이 수정된 행렬의 행렬식 (determinant)이 0이어야 함을 의미합니다. 네, 말로 설명하자니 조금 복잡할 수 있지만, 다시 말씀드리자면 시청하시는 분들 모두에게 이 내용은 복습 과정일 것이라고 가정하겠습니다. 따라서, 고윳값 (eigenvalues)을 계산하는 일반적인 방법, 즉 제가 예전에 했던 방식이자 대부분의 학생이 배우는 방식은 대각 성분에서 미지의 값 $\lambda$를 빼고, 행렬식 (determinant)이 0이 되도록 방정식을 푸는 것입니다.

이 과정을 수행하려면 행렬의 특성 다항식 (characteristic polynomial)이라고 알려진 깔끔한 이차 다항식을 얻기 위해 전개하고 단순화하는 몇 가지 추가 단계가 항상 수반됩니다. 고윳값 (eigenvalues)은 이 다항식의 근이므로, 이를 찾으려면 이차 방정식의 근의 공식 (quadratic formula)을 적용해야 하며, 이 공식 자체도 보통 한두 단계의 추가적인 단순화 과정을 필요로 합니다. 솔직히 말해서 이 과정이 아주 끔찍한 것은 아니지만, 적어도 2x2 행렬의 경우에는 정답에 도달할 수 있는 훨씬 더 직접적인 방법이 있습니다. 만약 이 요령을 다시 발견하고 싶다면, 알아야 할 관련 사실은 단 세 가지만 있으며, 각각의 사실은 그 자체로 알 가치가 있을 뿐만 아니라 다른 문제 해결에도 도움이 될 수 있습니다.

첫 번째, 두 대각 성분의 합인 행렬의 흔적 (trace)은 고윳값들의 합과 같습니다. 또는 우리의 목적에 더 유용한 방식으로 표현하자면, 두 고윳값의 평균은 이 두 대각 성분의 평균과 같습니다. 두 번째, 행렬의 행렬식 (determinant), 즉 우리가 흔히 사용하는 $ad-bc$ 공식은 두 고윳값의 곱과 같습니다. 고윳값이 특정 방향으로 연산자 (operator)가 공간을 얼마나 늘리는지를 설명하고, 행렬식이 연산자가 전체적으로 면적이나 부피를 얼마나 스케일링 (scaling)하는지를 설명한다는 점을 이해한다면 이는 어느 정도 말이 될 것입니다.

이제 세 번째 사실로 넘어가기 전에, 실제로 많은 것을 적지 않고도 본질적으로 이 첫 두 값을 행렬에서 바로 읽어낼 수 있다는 점에 주목하세요. 여기 이 행렬을 예로 들어보겠습니다. 즉시 고윳값의 평균이 8과 6의 평균인 7과 같다는 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로, 대부분의 선형대수학 학생들은 행렬식을 구하는 데 꽤 숙련되어 있으며, 이 경우에는 $48 - 8$로 계산됩니다. 따라서 여러분은 두 고윳값의 곱이 40이라는 것을 즉시 알 수 있습니다.

이제 우리가 다룰 세 번째 관련 사실, 즉 두 수의 평균 (mean)과 곱 (product)을 알고 있을 때 어떻게 두 숫자를 빠르게 복구할 수 있는지 유도할 수 있는지 잠시 살펴보겠습니다. 여기 이 예시에 집중해 봅시다. 여러분은 두 값이 숫자 7을 중심으로 균등하게 떨어져 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 이 값들은 7에 무언가를 더하거나 뺀 형태, 즉 7 $\pm$ $d$ (여기서 $d$는 거리 (distance)라고 부릅시다)로 나타낼 수 있습니다. 또한 여러분은 이 두 수의 곱이 40이라는 것도 알고 있습니다. 이제 $d$를 구하기 위해, 이 곱이 매우 깔끔하게 전개되어 합차 공식 (difference of squares) 형태로 나타난다는 점에 주목하세요.

그로부터 $d$를 찾을 수 있습니다. $d^2$은 $7^2 - 40$, 즉 9가 되며, 이는 $d$ 자체가 3임을 의미합니다. 다시 말해, 이 매우 특정한 예시에서 두 값은 4와 10이 됩니다. 하지만 우리의 목표는 빠른 요령 (quick trick)이며, 매번 이렇게 생각하고 싶지는 않을 것입니다. 그러니 방금 우리가 한 일을 일반적인 공식으로 정리해 봅시다. 임의의 평균 $m$과 곱 $p$에 대해, 거리의 제곱은 항상 $m^2 - p$가 됩니다. 이것이 세 번째 핵심 사실을 제공합니다. 즉, 두 수의 평균이 $m$이고 곱이 $p$일 때, 그 두 수는 $m \pm \sqrt{m^2 - p}$로 쓸 수 있습니다.

만약 이 공식을 잊어버리더라도 즉석에서 다시 유도하는 것이 꽤 빠르며, 이는 본질적으로 합차 공식 (difference of squares formula)을 다시 표현한 것뿐입니다. 하지만 그럼에도 불구하고, 이 사실은 손끝에 익을 정도로 암기해 둘 가치가 있습니다. 실제로, A Capella Science 채널의 제 친구 Tim이 이를 조금 더 기억하기 쉽게 멋지고 짧은 CM송 (jingle)을 만들어 주었습니다: "$m$ 더하기 또는 빼기, $m$ 제곱 빼기 $p$의 제곱근". 이것이 어떻게 작동하는지 보여드리겠습니다. 예를 들어 행렬 $((3, 1), (4, 1))$의 경우를 봅시다. 여러분은 먼저 공식을 떠올리며, 머릿속으로 전체를 읊조립니다 ("$m$ 더하기 또는 빼기, $m$ 제곱 빼기 $p$의 제곱근").

하지만 실제로 적을 때는 진행하면서 $m$과 $p$에 적절한 값을 채워 넣습니다. 따라서 이 예시에서는 고윳값 (eigenvalues)의 평균이 3과 1의 평균인 2와 같으므로, 여러분이 쓰기 시작할 내용은 2 더하기 또는 빼기 2의 제곱근 빼기... 입니다. 그다음 고윳값의 곱은 행렬식 (determinant)이며, 이 예시에서는 $3 imes 1 - 1 imes 4$, 즉 $-1$이 됩니다. 이것이 여러분이 채워 넣을 마지막 값이며, 이는 고윳값이 $2 ext{ plus or minus the square root of } 5$임을 의미합니다. 이것이 제가 처음에 사용했던 것과 동일한 행렬이라는 것을 알아차릴 수도 있겠지만, 우리가 얼마나 더 직접적으로 정답에 도달할 수 있는지 주목해 보세요.

여기서 다른 예시를 하나 더 해봅시다. 이번에는 고윳값의 평균이 2와 8의 평균인 5와 같습니다. 따라서 다시 공식을 쓰기 시작하되, 이번에는 $m$ 자리에 5를 적습니다 (

이것들은 Pauli spin matrices (파울리 스핀 행렬)로 알려져 있습니다. 양자역학 (quantum mechanics)을 알고 있다면, 행렬의 고윳값 (eigenvalues)이 그 행렬이 설명하는 물리학과 매우 밀접한 관련이 있다는 것을 알 것입니다. 만약 양자역학을 모르더라도, 이러한 계산들이 실제 응용 분야에서 얼마나 유용하게 쓰이는지 살짝 엿보는 계기로 삼으시기 바랍니다. 세 가지 경우 모두 대각 성분 (diagonal entries)의 평균은 0입니다. 따라서 이 모든 경우에서 고윳값의 평균은 0이며, 이는 우리의 공식을 특히 단순하게 만들어 줍니다. 그렇다면 고윳값의 곱, 즉 이 행렬들의 행렬식 (determinants)은 어떨까요?

첫 번째 행렬의 경우, 0 빼기 1, 즉 -1입니다. 두 번째 행렬 또한 0 빼기 1처럼 보이지만, 복소수 (complex numbers) 때문에 확인하는 데 시간이 조금 더 걸립니다. 그리고 마지막 행렬은 -1 빼기 0처럼 보입니다. 따라서 모든 경우에서 고윳값은 +1과 -1로 단순화됩니다. 물론 이 경우에는 고윳값들이 0을 중심으로 균등하게 배치되어 있고 그 곱이 -1이라는 것을 안다면, 두 값을 찾기 위해 굳이 공식을 사용할 필요도 없습니다. 궁금하시다면 말씀드리자면, 양자역학의 맥락에서 이 행렬들은 입자의 x, y 또는 z 방향 스핀 (spin)에 대해 수행할 수 있는 관측을 설명합니다.

그리고 고윳값이 +1과 -1이라는 사실은, 관측되는 스핀 값이 그 사이에서 연속적으로 변하는 것이 아니라, 완전히 한 방향이거나 완전히 다른 방향 중 하나라는 개념과 일치합니다. 아마 이것이 정확히 어떻게 작동하는지, 혹은 왜 3차원 스핀을 설명하는 데 복소수를 포함한 2x2 행렬을 사용하는지 궁금하실 수도 있습니다. 그것들은 타당한 질문들이지만, 여기서 제가 다루고자 하는 범위를 벗어납니다. 재미있게도, 제가 이 섹션을 작성한 이유는 단순히 장난감 예제나 숙제 문제 같은 것이 아니라, 실제로 실무에서 등장하는 2x2 행렬의 사례를 보여주고 싶었기 때문이며, 양자역학은 그러한 사례를 보여주기에 아주 좋습니다.

문제는, 제가 이것을 만든 후에 이 예시 전체가 제가 전달하려는 핵심 요점을 다소 약화시킨다는 것을 깨달았다는 점입니다. 이러한 특정 행렬들의 경우, 특성 다항식 (characteristic polynomials)을 사용하는 전통적인 방식을 사용하더라도 본질적으로 속도가 거의 차이가 없습니다. 오히려 더 빠를 수도 있습니다. 첫 번째 행렬을 예로 들어보겠습니다. 관련 행렬식 (determinant)을 구하면 $\lambda^2 - 1$이라는 특성 다항식이 바로 나오며, 이 식의 근이 $+1$과 $-1$임은 명확합니다. 두 번째 행렬을 계산할 때도 $\lambda^2 - 1$로 결과는 같습니다.

그리고 마지막 행렬의 경우, 전통적인 방식이든 아니든 어떤 계산도 할 필요가 없습니다. 이미 대각 행렬 (diagonal matrix)이므로, 대각 성분들이 곧 고윳값 (eigenvalues)입니다. 하지만 이 예시가 우리의 목적을 완전히 상실한 것은 아닙니다. 실제로 속도 향상을 체감할 수 있는 부분은, 이 세 행렬의 선형 결합 (linear combination)을 구한 뒤 그 고윳값을 계산하려고 하는 더 일반적인 경우입니다. 이를 $a$ times 첫 번째 행렬, plus $b$ times 두 번째 행렬, plus $c$ times 세 번째 행렬로 쓸 수 있을 것입니다. 양자역학 (quantum mechanics)에서 이는 좌표가 $(a, b, c)$인 벡터의 일반적인 방향에 대한 스핀 관측 (spin observations)을 설명하게 됩니다.

더 구체적으로, 이 벡터는 정규화 (normalized)되어 있다고 가정해야 하며, 즉 $a^2 + b^2 + c^2 = 1$임을 의미합니다. 이 새로운 행렬을 살펴보면, 고윳값들의 평균이 여전히 0이라는 것을 즉시 알 수 있습니다. 또한 고윳값들의 곱이 여전히 -1이라는 점을 잠시 멈춰 확인해 보는 것도 즐거운 과정이 될 것입니다. 그리고 거기서부터 고윳값이 무엇이어야 하는지 결론을 내릴 수 있습니다. 이 경우에는 특성 다항식 접근 방식이 상대적으로 훨씬 더 번거로울 것이며, 머릿속으로 계산하기에는 확실히 더 어려울 것입니다.

분명히 말씀드리자면, 평균-곱 공식 (mean product formula)을 사용하는 것이 특성 다항식 (characteristic polynomial)의 근을 찾는 것과 근본적으로 다른 것은 아닙니다. 제 말은, 두 방식이 동일한 문제를 해결하고 있으니 근본적으로 다를 수가 없다는 뜻입니다. 실제로 이 방식을 생각하는 한 가지 방법은 평균-곱 공식이 일반적으로 이차 방정식 (quadratics)을 푸는 아주 좋은 방법이라는 것입니다. 채널의 일부 시청자분들은 이를 알아차릴 수도 있습니다. 생각해 보세요, 계수 (coefficients)가 주어졌을 때 이차 방정식의 근을 찾으려는 상황은 두 값의 합을 알고 있고, 또한 두 값의 곱도 알고 있지만, 원래의 두 값을 다시 찾아내려는 또 다른 상황과 같습니다.

구체적으로, 만약 다항식이 정규화 (normalized)되어 최고차항의 계수가 1이라면, 근들의 평균은 이 일차항 계수의 -1/2배가 되며, 이는 근들의 합에 -1을 곱한 것과 같습니다. 화면에 보이는 예시의 경우, 평균은 5가 됩니다. 그리고 근들의 곱은 훨씬 더 쉬운데, 별도의 조정 없이 그냥 상수항 (constant term) 그 자체입니다. 따라서 거기서부터 평균-곱 공식을 적용하면 근을 얻을 수 있습니다 ("m ± √(m² - p)"). 한편으로는 이를 전통적인 이차 방정식 공식 (quadratic formula)의 경량화된 버전이라고 생각할 수도 있습니다.

하지만 진짜 장점은 단순히 암기해야 할 기호가 적다는 것이 아니라, 각 기호가 더 많은 의미를 담고 있다는 점입니다. 제 말은, 이 고윳값 (eigenvalue) 요령의 핵심은 행렬을 보는 것만으로 평균과 곱을 직접 읽어낼 수 있기 때문에, 특성 다항식을 설정하는 중간 단계를 거칠 필요가 없다는 것입니다. 다항식이 어떤 형태인지 명시적으로 생각하지 않고도 곧바로 근을 적어 내려갈 수 있습니다. 하지만 그렇게 하기 위해서는, 각 항이 일종의 의미를 담고 있는 형태의 이차 방정식 공식이 필요합니다.