Physics-Informed Neural Networks를 이용한 비선형 편미분 방정식(PDEs) 해결을 위한 볼록 준선형화(Convex

우리는 Bellman-Kalaba 준선형화(quasilinearization)를 통해 비선형 문제를 일련의 선형 하위 문제(linear subproblems)로 축소하는 비선형 편미분 방정식(PDEs)의 순방향 해법(forward solution)을 위한 수치적 방법을 제시합니다. 각 하위 문제는 매개변수에 대해 선형인 시도 공간(trial space)에 대한 콜로케이션(collocation)으로 이산화되며, 단일 직접 선형 최소제곱 QR 인수분해(linear least-squares QR factorization)를 통해 해결됩니다. 우리가 Linear-in-Learnables (LiL)라고 명명한 이 시도 공간은 무작위 특징 극단 학습 머신(random-feature extreme learning machines), 스펙트럼 다항식 기저(spectral polynomial bases), 삼각 전개(trigonometric expansions)를 포함하여, 학습 가능한 매개변수가 선형적으로 들어가는 표현들로 구성되며, 각각은 물리 정보 신경망 (Physics-Informed Neural Networks, PINNs)으로 구현됩니다. 따라서 이 방법은 표준 PINNs의 한계인 비볼록(nonconvex) 경사 하강법 기반 학습을 단계별 볼록(convex) 해결 방식으로 대체합니다. 우리는 명시적인 미소 조건(smallness condition) 하에서 외부 반복(outer iteration)이 잔차 제한 근방(residual-limited neighborhood)으로 국소 Newton-Kantorovich 수렴함을 입증하며, 이때 한계 정확도는 최적화 허용 오차(optimization tolerance)가 아닌 시도 공간의 최적 근사 잔차(best-approximation residual)에 의해 결정됩니다. LiL-Q로 명명된 이 방법은 스칼라 비선형 PDE (Bratu, 점성 Burgers, Buckley-Leverett), 결합 시스템 (평면 변형 탄성학 및 2차원과 3차원 공간에서의 비압축성 Navier-Stokes 방정식), 그리고 불균질한 투과율을 가진 정상 상태 Darcy 흐름을 아우르는 7가지 벤치마크에서 평가되었습니다. 이러한 문제 전반에 걸쳐 LiL-Q는 가장 거친 기저 크기에서도, 그리고 매개변수 수와 무관하게 대부분의 경우 한 자릿수 이내의 외부 반복만으로 수렴합니다. 정확한 해가 시도 공간의 스팬(span) 내에 있는 경우, 이 방법은 단 한 번의 해결로 기계 정밀도(machine precision)까지 해를 복구합니다. Navier-Stokes 벤치마크에서 이 방법은 경사 기반 최적화 없이도 기존에 발표된 PINN 솔버들과 대등하거나, 최대 두 자릿수 적은 학습 가능 매개변수로 이를 능가합니다.