Kernel EDMD 를 위한 사전 학습 (Dictionary Learning)

상태 공간 행동을 통해 비선형 동역학 시스템을 연구하는 것은 어려울 수 있으며, 하나의 가능한 대안은 관련 쿠옴만 연산자 (Koopman operator) 를 분석하는 것입니다. 이는 비선형 문제를 선형 무한 차원 문제로 전환합니다. 유한 차원에서 연산자를 근사하기 위해 확장된 동적 모드 분해 (Extended Dynamic Mode Decomposition, EDMD) 는 일반적으로 사용되는 알고리즘입니다. 이 방법은 연산자 및 해당 스펙트럼의 근사를 계산하기 위해 함수들의 유한한 목록과 시스템에서 얻은 스냅샷 집합을 필요로 합니다. 함수 목록을 직접 선택하는 대신 커널을 통해 암묵적으로 정의할 수 있으며, 이를 커널 확장된 동적 모드 분해 (Kernel Extended Dynamic Mode Decomposition, kEDMD) 라고 합니다. 그러나 여전히 커널을 정의하고 그 매개변수 값을 선택해야 합니다. 본 논문에서는 EDMD 에 대한 사전 학습 (Dictionary Learning) 을 kEDMD 의 커널 학습으로 확장하여 이 과정을 간소화하는 것을 목표로 합니다. kEDMD 를 단순화함으로써 학습 가능한 커널 매개변수에 대해 기울기 기반 최적화를 수행하는 방법을 보여주고, 이 방법이 원래 kEDMD 에 유용한 커널을 제공함을 입증합니다. 우리의 작업의 초점은 가중치 목록과 무작위 초기화된 값을 입력으로 받아 잠재 시스템의 쿠옴만 연산자를 근사하기에 적합한 커널 목록과 매개변수 값을 출력하는 방법입니다. 우리는 가중 합에서 가중치를 분석하여 불필요한 커널을 목록에서 제거할 수 있음을 보여줍니다. 여러 실험, 즉 뒤프링 진동자 (Duffing oscillator) 와 쿠라모토-시바신스키 편미분방정식 (Kuramoto-Sivashinsky PDE) 을 포함한 다양한 실험에서 이 방법을 평가하여 방법의 다른 강점을 보여줍니다.