Hodge Decomposition을 통한 위상 보존 신경 연산자 학습 (Topology-Preserving Neural Operator

본 논문에서 우리는 함수 공간 (function-space) 관점에서 기하학적 메쉬 (geometric meshes) 상의 물리적 장 방정식 (physical field equations)의 해 연산자 (solution operators)를 연구합니다. 우리는 Hodge 직교성 (Hodge orthogonality)이 학습 불가능한 위상적 자유도 (topological degrees of freedom)를 학습 가능한 기하학적 역학 (geometric dynamics)으로부터 분리함으로써 스펙트럼 간섭 (spectral interference)을 근본적으로 해결하며, 구조 보존 부공간 (structure-preserving subspaces)에 국한된 가법적 근사 (additive approximation)를 가능하게 한다는 점을 밝혀냅니다. Hodge 이론 (Hodge theory)과 연산자 분할 (operator splitting)을 기반으로, 우리는 원칙적인 연산자 수준의 분해 (operator-level decomposition)를 도출합니다. 그 결과, 우리가 Hodge Spectral Duality (HSD)라고 부르는 대수적 수준의 귀납적 편향 (inductive bias)을 가진 Hybrid Eulerian-Lagrangian 아키텍처가 탄생합니다. 우리의 프레임워크에서, 우리는 위상 지배적 성분 (topology-dominated components)을 포착하기 위해 이산 미분 형식 (discrete differential forms)을 사용하고, 복잡한 국소 역학 (local dynamics)을 표현하기 위해 직교 보조 주변 공간 (orthogonal auxiliary ambient space)을 사용합니다. 우리의 방법은 물리적 불변량 (physical invariants)에 대한 향상된 충실도를 바탕으로 기하학적 그래프 (geometric graphs)에서 우수한 정확도와 효율성을 달성합니다. 우리의 코드는 https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality 에서 확인할 수 있습니다.