HAMNO: 동적 시스템을 위한 물리 정보 학습 기반의 계층적 적응형 다중 스케일 신경 연산자 (Hierarchical Adaptive

신경 연산자 (Neural operators)는 함수 공간 (function space)에서 편미분 방정식 (partial differential equations, PDEs)의 해 매핑을 직접 학습할 수 있는 강력한 프레임워크를 제공합니다. 그러나 기존의 많은 아키텍처는 다중 스케일 구조 (multi-scale structures), 장거리 상호작용 (long-range interactions), 그리고 안정적인 장기 진화 (stable long-time evolution)를 포함하는 비선형 시간 의존적 시스템을 표현하는 데 여전히 어려움을 겪고 있습니다. 본 연구에서는 국소적 합성곱 표현 (local convolutional representations), 전역 스펙트럼 연산자 (global spectral operators), 그리고 계층적 인코더-디코더 (hierarchical encoder-decoder) 처리를 결합한 신경 연산자 아키텍처인 계층적 적응형 다중 스케일 신경 연산자 (Hierarchical Adaptive Multi-scale Neural Operator, HAMNO)를 소개합니다. HAMNO의 핵심 구성 요소는 각 공간 위치에서 국소적 정보와 전역적 정보의 균형을 적응적으로 조절하는 데이터 의존적 게이팅 메커니즘 (data-dependent gating mechanism)으로, 이를 통해 모델은 장거리 의존성 (long-range dependencies)을 보존하면서도 미세 스케일 특징 (fine-scale features)을 분해할 수 있습니다. 나아가 우리는 데이터 피팅 (data fitting)과 강형(strong-form) 및 약형(weak-form) 물리 제약 조건을 결합한 다중 목적 손실 전략 (multi-objective loss strategy)을 기반으로 하는 물리 정보 확장 모델인 PI-HAMNO를 개발했습니다. 강형 항은 물리 좌표계에서 도메인 적분된 PDE 잔차 (PDE residual)의 제곱에 대해 페널티를 부여하며, 약형 항은 지배 잔차 (governing residual)에 유한 요소 테스트 함수 (finite-element test functions)를 곱하고, 결과적으로 생성된 요소 적분 (element integrals)을 중심 기반 사면체 구적법 (centroid-based tetrahedral quadrature)을 사용하여 평가함으로써 구성됩니다. 이 프레임워크는 입방체 도메인 (cubic domains)에서 정의된 비주기적 Allen-Cahn (AC), Cahn-Hilliard (CH), 그리고 Swift-Hohenberg (SH) 방정식에 대해 평가되었습니다. 장기 롤아웃 (long-horizon rollout), 데이터 제한적 학습 (data-limited training), 분포 외 초기 조건 변화 (out-of-distribution initial-condition shifts), 그리고 무작위 시드 변동 (random-seed variations) 전반에 걸쳐, HAMNO는 표준 신경 연산자 베이스라인보다 예측 정확도를 향상시켰으며, PI-HAMNO는 안정성, 물리적 일관성 (physical consistency), 그리고 데이터 효율성 (data efficiency)을 더욱 강화했습니다. 구현 코드는 https://github.com/MBamdad/HAMNO 에서 공개적으로 사용할 수 있습니다.