임의의 기하학적 구조에서 편미분 방정식 (PDEs)을 위한 연산자 학습 (Operator learning)은 대규모 시뮬레이션을 위한 빠른 신경망 대리 모델 (neural surrogates)을 구축합니다. 최근의 기하학적 적응형 신경 연산자 (geometry-adaptive neural operators)들이 상당한 진전을 이루었지만, 이들은 주로 입력과 출력이 동일한 공간 도메인을 공유하는 순방향 문제 (forward problems)를 위해 설계되었습니다. 이는 입력과 출력이 서로 다른 도메인에 존재할 수 있는 경계값 문제 (BVPs) 및 역문제 (inverse problems)에 대한 적용 가능성을 제한합니다. 우리는 도메인 경계와 내부 필드 분포를 기하학적 토큰 (geometry tokens)으로 인코딩하고, 크로스 어텐션 (cross-attention)을 통해 이러한 토큰에 적분 변환 레이어 (integral transform layers)를 조건화하여 커널이 기하학적 특징에 국부적으로 적응할 수 있도록 하는 연산자 학습 모델인 GAIA (Geometry-Adaptive Integral Autoencoder)를 소개합니다. 이를 통해 재학습, 반복적 최적화 (iterative optimization), 또는 그래프 구축 없이도 임의의 도메인에서 순방향 문제 (BVP 포함) 및 역문제를 단 한 번의 패스로 해결할 수 있는 단일 아키텍처를 구현합니다. 우리는 7개의 2D 및 3D 벤치마크에서 GAIA를 평가하였으며, 그중 4개는 역문제 및 BVP를 위해 새롭게 제작되었거나 대폭 확장된 벤치마크인 전기 임피던스 단층 촬영 (electrical impedance tomography), 광학 단층 촬영 (optical tomography), 다양한 기하학적 구조에서의 3D Darcy 흐름 (3D Darcy flow), 그리고 기계 부품 벤치마크 (MCB)의 수정된 Poisson BVP 설정입니다. GAIA는 모든 역문제 및 BVP 작업에서 새로운 최첨단 (state-of-the-art) 결과를 달성하였으며, 에어포일 흐름 재구성 (airfoil flow reconstruction)에서 중앙값 상대 $L^2$ 오차를 64% 감소시켰고, EIT에서는 차순위의 최적 분할 방식 (amortized method) 대비 27%를 감소시켰으며, MCB의 모든 형상 카테고리에서 모든 베이스라인을 능가했습니다. 다른 순방향 문제에서도 GAIA는 트랜스포머 기반 (transformer-based) 베이스라인들이 성능이 저하되는 포인트 해상도 전반에서 안정적인 정확도를 유지하면서 특화된 솔버 (specialized solvers)들과 경쟁할 만한 성능을 보여줍니다.