fTNN: 분수계 편미분 방정식(fractional PDEs)을 위한 텐서 신경망

우리는 유계 영역(bounded domains)에서의 분수계 라플라시안(fractional Laplacian)을 포함하는 문제들을 해결하기 위한 결정론적 텐서 신경망 부분 공간 방법(deterministic tensor neural network subspace method)인 fTNN을 개발하였으며, 분수계 푸아송 방정식(fractional Poisson equation)과 시간 의존적 분수계 이류-확산 방정식(time-dependent fractional advection-diffusion equation)을 대표적인 사례로 다룹니다. 본 연구는 공간 의존적 근접장 반경(spatially dependent near-field radius)을 특징으로 하는 기하학적 적응형 적분 분할(geometry-adapted integration split)을 채택하여, 분수계 라플라시안을 세 가지 기여분인 특이 근접장(singular near field), 규칙적 내부 원거리장(regular interior far field), 그리고 해석적 외부 원거리장(analytical exterior far field)으로 분해합니다. 그 후, 특이 방사형 적분(singular radial integrals)은 가우스-자코비 구적법(Gauss-Jacobi quadrature)으로, 규칙적 방사형 적분(regular radial integrals)은 가우스 구적법(Gauss quadrature)으로, 그리고 각변수(angular variables)는 결정론적 각구적법(deterministic angular quadrature)으로 처리하여 분수계 라플라시안 연산자의 완전한 결정론적 적분 프레임워크를 산출합니다. 저규칙성 해(low-regularity solutions)와 그와 관련된 손실 함수(loss functional)를 정확하게 해결하기 위해, 우리는 명시적인 경계 특징(explicit boundary features)이 강화된 경계 특이점 인식 시도 함수(boundary-singularity-aware trial functions)를 구축하였으며, 분수계 연산자에 의해 유도된 특이 구조로부터, 또는 분수계 연산자와 소스 항(source term)에 의해 공동으로, 주요 지수(leading exponent)를 자동으로 선택하고 손실 함수를 평가하기 위한 두 가지 전략을 제안합니다. 시간 의존적 분수계 편미분 방정식(fractional PDEs)의 경우, 우리는 시간-공간 잔차(time-space residual)를 저차원 시간 및 공간 적분의 합으로 인수분해하는 시공간 분리형 신경망(spatiotemporally separable neural network)을 설계하였으며, 효율적인 학습을 위해 이 표현을 교대 신경망 부분 공간 최적화(alternating neural network subspace optimization) 전략과 통합하였습니다. 수치 실험 결과, 제안된 프레임워크는 테스트된 벤치마크에서 높은 정확도를 달성하였으며, 특히 강한 경계 특이점(strong boundary singularities)과 장기 시뮬레이션(long-time simulations)을 포함하는 문제에서 기존의 fPINN 및 몬테카를로(Monte Carlo) 베이스라인보다 실질적으로 개선된 성능을 보여주었습니다.