Convex Distance Operator Transport: 볼록성 및 기하학적 구조를 보존하는 정식화

우리는 특징 대응성(feature correspondence)과 고유한 기하학적 구조(intrinsic geometric structure)를 공동으로 보존함으로써 이질적인 도메인(heterogeneous domains) 간의 분포를 정렬하는 최초의 볼록 최적 운송(convex optimal transport) 프레임워크인 Convex Distance Operator Transport (CDOT)를 소개합니다. 구체적으로, CDOT는 거리 연산자(distance operator)와 조건부 기대 연산자(conditional expectation operator)를 도입하여 집계된 거리 구조를 정렬하는 연산자 기반 정규화(operator-based regularization)를 채택합니다. 결과적으로, 제안된 정규화는 국소적인 기하학적 변동(local geometric variations)에 대한 강건성(robustness)을 향상시킵니다. 우리는 또한 결과물인 CDOT 불일치(discrepancy)가 속성이 부여된 컴팩트 계량-측도 공간(attributed compact metric-measure spaces) 상에서 유효한 유사 거리(pseudometric)임을 증명합니다. 또한, 새로운 분산 간극(dispersion gap) 개념을 통해 CDOT와 Gromov--Wasserstein (GW) 사이의 관계를 규명하며, 이를 통해 CDOT의 볼록성(convexity)과 비교하여 GW의 비볼록성(non-convexity)이 갖는 기하학적 원인을 공식적으로 설명합니다. 유한 샘플 regime (finite-sample regime)에서, 우리는 최적화 오차(optimization error)와 통계적 오차(statistical error)로 분해되는 비점근적 리스크 경계(non-asymptotic risk bound)를 도출하고, 전역적으로 수렴하는 Frank--Wolfe 알고리즘 하에서 리스크 일관성(risk consistency)을 확립합니다. 합성 포인트 클라우드(synthetic point clouds), 뇌 커넥톰(brain connectomes), 그리고 그래프 분류 벤치마크에 대한 실험을 통해 기존 방법들보다 우수한 성능을 입증하였으며, 실제 적용 시 안정적이고 신뢰할 수 있는 동작을 보여주었습니다.