87년 동안 살아남았던 추측이 월드컵 결승전이 열리던 일요일 밤에 종말을 맞이했습니다

2026년 7월 20일, Anthropic의 연구원 Levent Alpöge는 친구에게 "경기 중에도 일해줘서 고맙다"는 트윗을 게시했습니다. 그 친구는 Fable 5였습니다. 다른 모든 사람들이 축구를 시청하는 동안, Fable 5가 해낸 일은 Jacobian 추측 (Jacobian conjecture)을 무너뜨린 것이었습니다.

싫어했던 필수 과목 이후로 대수 기하학 (algebraic geometry)을 접해본 적이 없다면, 이 추측을 한 문장으로 설명하자면 다음과 같습니다: 만약 다항식 사상 (polynomial map)이 모든 곳에서 국소적으로 가역적이라면 (its Jacobian determinant이 0이 아닌 상수라면), 그것은 반드시 전역적으로도 가역적이어야 합니다. Ott-Heinrich Keller는 1939년에 이를 제안했습니다. 이 추측은 필즈상 (Fields medal) 수상자들, 이를 해결하기 위해 구축된 전체 하위 분야들, 그리고 87년이라는 긴 시간 동안 살아남았습니다.

Fable 5는 반례 (counterexample)를 찾아냈습니다. 차수(degree) 7에서 말이죠. 수학자들은 시도조차 해보려면 차수가 200은 되어야 할 것이라고 추정해 왔었습니다.

그 격차 — 200 대 7 — 가 이 이야기의 핵심이며, 대부분의 보도는 이 점을 놓치고 있습니다.

반례의 실제 정체

사상은 F: ℂ³ → ℂ³ 입니다. 이 사상의 Jacobian determinant은 동일하게 −2이며, 이는 0이 아닌 상수이므로 추측의 모든 전제를 충족합니다. 하지만 이는 단사 (injective)가 아닌 3-to-1 함수입니다:

F(0, 0, -1/4)   = (-1/4, 0, 0)
F(1, -3/2, 13/2) = (-1/4, 0, 0)
F(-1, 3/2, 13/2) = (-1/4, 0, 0)

세 개의 서로 다른 점이 하나의 출력을 가집니다. 모든 곳에서 국소적으로 가역적이지만, 전역적으로는 해당 점들 근처에서 가역적이지 않습니다. 단 세 줄 만에 추측은 종말을 맞이했습니다.

몇 시간 만에 전 세계 수학자들은 Wolfram Alpha와 같은 도구를 사용하여 독립적으로 산술 계산을 검증했습니다. 같은 날 밤, Lean 정리 증명기 (theorem prover) 커뮤니티는 이를 기계 검증된 증명 (machine-checked proof)으로 정식화했습니다.

Terence Tao는 7월 21일에 "Jacobian conjecture counterexample에 대한 소화(A digestion of the Jacobian conjecture counterexample)"를 게시했습니다. 이는 AI가 생성한 반례가 왜 존재해야만 하는지에 대한 증명을 동반하지 않았기 때문에, 해당 결과물이 왜 작동하는지에 대한 완전한 기하학적 재구성입니다. Tao는 이를 두 변수를 가진 다항식의 대칭 거듭제곱 공간(symmetric power spaces of polynomials in two variables; $\mathbb{C}^2$의 $\text{Sym}^1, \text{Sym}^2, \text{Sym}^3$), 이들 사이의 곱셈 사상(multiplication map), 스케일링 대칭(scaling symmetry)을 제거하기 위한 결과식 제약(resultant constraint), 그리고 그가 "어파인 기적(affine miracle)"이라 부르는 것—명시적인 다항식 변수 변환(polynomial change of variables)을 통해 $\mathbb{C}^3$와 동형(isomorphic)이 되는 특정한 3차원 슬라이스—을 사용하여 문제를 재정의했습니다.

Tao의 실제 발언: "저는 이 문제의 다양한 측면을 논의하고 여러 계산을 확인하기 위해 AI 챗봇을 사용했습니다."

이 문장을 주의 깊게 읽으십시오. AI는 결과물(object)을 만들어냈습니다. 하지만 필즈상(Fields medalist) 수상자가 그것이 존재하는 이유를 역공학(reverse-engineer)해야 했습니다. 시카고 대학교의 Akhil Mathew는 이를 정확하게 표현했습니다: "정확성은 검증할 수 있지만, AI는 그것이 '왜 작동하는지'에 대한 이야기를 들려줄 수 없습니다."

이것은 사소한 주의 사항이 아닙니다. 이것이 바로 실제 발견된 사실입니다.

이것은 "AI가 수학을 해결한다"가 아닙니다. 이것은 당신의 업무에 대한 예고편입니다.

이 상황을 "AI가 고대의 수학적 미스터리를 풀다"라고 부르는 모든 관점은 핵심(lede)을 묻어버리는 것입니다. 핵심은 이것입니다: 생성(generation)은 저렴해졌지만, 검증(verification)은 그렇지 않았으며, 그 둘 사이의 간극이 이제 병목 현상(bottleneck)이 되었다는 것입니다.

Imperial College London의 Kevin Buzzard는 "살아있기에 멋진 시대"라고 말했습니다. 물론입니다. 하지만 이 패턴을 알아차리기에도 멋진 시대입니다. 만약 당신이 올해 코딩 에이전트(coding agent)와 함께 코드를 배포해 본 경험이 있다면, 이미 이 패턴을 본 적이 있을 것입니다:

• 모델은 몇 초 만에 그럴듯하고, 검토 시 문제가 없는 결과물(artifact)을 생성합니다.
• 모델을 포함하여 그 누구도 "산술적으로 맞다"는 수준을 넘어 그것이 왜 옳은지 설명할 수 없습니다.
• 깊은 도메인 전문 지식(domain expertise)을 가진 인간이 사후에 그 추론 과정을 재구성하는 데 하루를 소비해야 합니다.
• 실제로 오류 영역(error surface)을 포착하거나(또는 오류가 없음을 확인하거나) 한 것은 정식 검증기(formal verifier)였습니다. 여기서는 Lean이며, 당신의 일상 업무에서는 타입 체커(type checker)와 테스트 스위트(test suite)가 그 역할을 합니다.

수학자들은 운이 좋았습니다. Lean이 존재했고, 성숙해 있었으며, 유창한 커뮤니티가 당일에 7차 다항식 항등식 (degree-7 polynomial identity)을 형식화 (formalize)할 준비가 되어 있었기 때문입니다. 대부분의 엔지니어링 조직은 그런 환경을 갖추고 있지 않습니다. 여러분 대부분은 눈으로 직접 확인하거나, 중요한 경로의 약 60% 정도만 커버하는 CI 스위트 (CI suite)에 의존하여 AI가 생성한 디프 (diffs)를 검토하고 있으며, 핵심 로직 근처에는 증명 보조기 (proof assistant)와 같은 장치가 전혀 없는 코드베이스에서 작업하고 있습니다.

참고로, 이 추측은 여전히 2차원에서는 미해결 상태입니다. 평면 맵 (planar maps)에 대한 원래의 Keller 문제는 여전히 남아 있습니다. 이는 이러한 시스템이 격차를 불균형하고 예측 불가능하게 메운다는 점을 상기시켜 주는 사례로 읽어야 합니다. 인간이 200차를 목표로 하고 있을 때, Fable은 7차에서 $\mathbb{C}^3$ 사례를 찾아냈습니다. 어떤 문제가 어느 날 오후에 해결될지, 그리고 어떤 문제가 또 다른 87년 동안 미해결 상태로 남을지는 아무도 미리 말해줄 수 없습니다.

이를 통해 실제로 무엇을 해야 하는가

"모델이 검증 가능한 답을 내놓았다"를 결승선으로 취급하는 것을 멈추십시오. 그것은 과거에는 업무 전체였던 과정 중, 이제는 시작 단계에 불과한 부분입니다.

만약 여러분의 팀이 형식 검증 (formal verification), 속성 기반 테스트 (property-based testing), 또는 중요한 경계에서의 철저한 타입 계약 (exhaustive typed contracts) 없이 AI가 생성한 코드를 배포하고 있다면, 여러분은 모든 검토를 통과하면서도 팀원 중 누구도 수작업으로는 도출할 수 없었던 방식으로 틀려버리는, '7차 다항식의 놀라움'과 같은 상황을 단 한 번의 사고만으로 맞이하게 될 것입니다. 수학자들에게는 Lean이 준비되어 있었습니다. 여러분은 그에 상응하는 준비가 되어 있습니까, 아니면 여전히 "내가 보기엔 괜찮아 보인다"에 의존하고 있습니까?

이제 생성 (Generation)은 더 이상 희소 자원이 아닙니다. 검증 (Verification)이 희소 자원입니다. 검증이 필요해진 후가 아니라, 필요하기 전에 검증기 (verifier)를 구축하십시오.

Sources: Terence Tao's original post · Hacker News discussion · BigGo Finance coverage · Fortune on mathematician reactions