BijectiveRemesh: 리메싱된 매니폴드(Manifolds) 간 데이터 전송을 위한 전단사 사상(Bijective Mappings)

우리는 2D 삼각형 표면(triangle surfaces)과 3D 사면체 메쉬(tetrahedral meshes) 모두에서 복잡한 리메싱(remeshing) 시퀀스 전반에 걸쳐 연속적인 전단사 사상(bijective mapping)을 유지하는 강력한 알고리즘인 BijectiveRemesh를 소개합니다. 보간(interpolation)이나 투영(projection)에 의존하는 기존의 데이터 전송 방식과 달리, 우리의 접근 방식은 각 기본 리메싱 연산(primitive remeshing operation)에 대해 정의된 국소적 전단사 아틀라스(local bijective atlases)를 체이닝(chaining)함으로써 입력 메쉬에서 출력 메쉬로 이어지는 수학적으로 엄밀한 합성 사상(composite map)을 구축합니다. 우리의 프레임워크는 전체 사상을 각 리메싱 연산당 하나씩 존재하는 국소적 전단사 아틀라스들의 합성(composition)으로 표현합니다. 연속적인 자기 매개변수화(self-parameterization)를 기반으로, 우리는 국소적 방향 보존(local orientation preservation)을 통해 전역적 전단사성(global bijectivity)을 강제하는 2D 삼각형 메쉬용 공유 스캐폴드(Shared Scaffold) 구조를 도입합니다. 우리는 이 접근 방식을 기존의 엣지 붕괴(edge collapses)를 넘어 엣지 분할(edge splits), 엣지 스왑(edge swaps), 정점 평활화(vertex smoothing)를 처리할 수 있도록 확장합니다. 3D 사면체 메쉬의 경우, 유효한 임베딩(embeddings)을 보장하기 위해 Steinitz의 정리(Steinitz's Theorem)와 Maxwell-Cremona 리프팅(lifting)을 사용하여 국소 아틀라스 구축을 일반화합니다. 이를 통해 텍스처 전송(texture transfer)부터 볼륨 시뮬레이션(volumetric simulations)에 이르는 응용 분야에서 리메싱 과정 중 점(points), 곡선(curves), 곡면(surfaces)을 포함한 기하학적 엔티티(geometric entities)를 정확하게 추적할 수 있습니다.