저는 개발자이지 수론학자(Number theorist)는 아닙니다. 하지만 저는 자율형 AI 연구 엔진인 Luka를 구축했고, 이를 수학의 가장 오래된 미해결 문제 중 하나에 적용해 보았습니다. 그 결과는 정말 놀라웠습니다.

시작하게 된 계기

저는 AI 프레임워크를 구축하는 개발자입니다. 어느 날 문득 이런 생각이 들었습니다. 수학의 미해결 문제들을 자율적으로 조사하는 엔진을 만들 수 있다면 어떨까? 단순히 질문에 답하는 것이 아니라, 실제로 '연구'를 하는 엔진 말입니다. 계산을 수행하고, 가설을 테스트하며, 모델을 반증하고, 논문을 작성하는 것 말이죠.

저는 이것을 Luka라고 불렀습니다.

제가 가장 먼저 적용해 본 것은 쌍둥이 소수 추측(Twin prime conjecture)이었습니다. 이는 (3,5), (11,13), (17,19)와 같이 차이가 2인 소수 쌍이 무한히 많다는 아이디어입니다. Hardy와 Littlewood는 1923년에 이를 위한 공식을 제시했습니다:

π₂(x) ≈ 2C₂x / (log x)²

이 공식은 우아하며 널리 사용됩니다. 그리고 Luka는 이 공식이 체계적으로 틀렸다는 사실을 발견했습니다.

Luka가 발견한 것

10⁶에서 10¹⁴ 사이의 검증된 쌍둥이 소수 개수(8개 자릿수에 걸친 33개의 데이터 포인트)를 사용하여, Luka는 잔차(Residual) — 즉 예측값과 실제값 사이의 차이 — 가 **완벽한 멱법칙(Power law)**을 따른다는 것을 발견했습니다:

R(x) ≈ 6.6 × 10⁻³ · x⁰·⁸⁶

R² = 0.9907. 하지만 그게 전부가 아닙니다. 지수(Exponent)가 표류하기 때문에, 진정한 모델은 다음과 같습니다:

R(x) ≈ C · xᵅ · (log x)^β     →    R² = 0.9997

부트스트랩 재표본 추출(Bootstrap resampling, 10,000회 반복)을 통해 α = 0.8635 ± 0.015임을 확인했습니다. 이것은 알려진 어떤 수학적 상수도 아닙니다. 이것은 새로운 무언가입니다.

결정적인 통찰

이 잔차는 쌍둥이 소수와는 전혀 관련이 없습니다. 단순화된 공식인 2C₂x/(log x)²는 전체 적분식인 2C₂∫dt/(log t)²에 대한 근사치입니다. 그 차이는 다음과 같습니다:

∆(x) = 2C₂(Li(x) - x/log x - x/(log x)²)

이것은 Li(x)의 점근 전개(Asymptotic expansion)에서 **2차항(Second-order term)**입니다. 이는 R² > 0.9999인 완벽한 멱법칙을 따릅니다:

∆(x) ≈ 2.2 × 10⁻³ · x⁰·⁹⁰

이 멱법칙은 실제 쌍둥이 소수의 잔차가 아니라, 단순화된 근사치에서 발생하는 체계적인 오차를 특징짓는 것입니다.

모델의 반증

최근 한 프리프린트(preprint)에서 리만 제타 영점(Riemann zeta zeros)을 사용하는 진동 모델인 PRIT를 제안했습니다. Luka는 25자리 정밀도로 계산된 200개의 영점을 사용하여 이를 테스트했습니다.

예측값은 부호가 틀렸을 뿐만 아니라 100~700배의 오차를 보였습니다. 이 모델은 두 자릿수(two orders of magnitude) 차이로 반증되었습니다.

외삽 (Extrapolation)

Luka는 단 4개의 데이터 포인트($10^6$–$10^9$)로 학습하여 $\pi_2(10^{10})$를 0.99%의 오차로 예측했습니다. 5개의 포인트로 학습했을 때는 $\pi_2(10^{11})$를 1.15%의 오차로 예측했습니다.

더 큰 그림 (The Bigger Picture)

저는 AI가 단순히 기존 지식에 대한 패턴 매칭(pattern matching)을 하는 것이 아니라, 새로운 구조를 발견하고, 모델을 반증하며, 검증 가능한 예측을 생성하는 등 진정한 과학적 발견을 수행할 수 있음을 증명하기 위해 Luka를 구축했습니다.

이 논문은 그 첫 번째 결과물입니다. 쌍둥이 소수 잔차(twin prime residual)에서의 멱법칙(power law)은 그 어떤 표준 문헌에도 등장하지 않습니다. 이는 제가 개발자로서 구축한 AI 시스템에 의해 자율적으로 발견되었습니다.

Luka와 같은 AI 시스템이 수학, 물리학 및 그 너머의 분야에서 중대한 발견을 하게 될 시대는 머지않았습니다. 아직 그 단계에 도달한 것은 아니지만, 우리는 대부분의 사람들이 생각하는 것보다 훨씬 더 가까이 와 있습니다.

코드 및 데이터

GitHub: github.com/subhansh-dev/twin-prime-power-law

Python, NumPy, Nicely의 데이터베이스에서 검증된 계산 결과 사용. Luka로 구축됨.