홀로그래픽 함수 (Holographic functions)와 신경망 (Neural networks)

퍼지 불리언 함수 (fuzzy Boolean function)는 $n ext{ (단, } n ext{은 } ext{N} ext{에 속함)} ext{에 대하여 } f: ext{cube}^n o [0,1]$인 사상입니다. 우리는 이러한 함수가 유계된 복잡도 (bounded complexity)를 갖는다는 것을 나타내는 세 가지 방식을 도입하고 비교합니다. 첫 번째는 샘플링 속성 (sampling property)입니다: $f(x)$의 값은 작은 오차 범위 내에서 높은 확률로, 무작위로 선택된 유계된 수의 $x$ 좌표 값들로부터 복구될 수 있습니다. 우리는 이를 홀로그래픽 속성 (holographic property)이라고 부릅니다. 두 번째는 구조적 속성 (structural property)입니다: $f$는 유계된 수의 유계된 선형 좌표 형식 (bounded linear coordinate forms) 내에서 유계된 차수의 다항식 (bounded-degree polynomial)에 균일하게 가깝습니다. 세 번째는 계산적 속성 (computational property)입니다: $f$는 입력이 아닌 뉴런의 수가 유계되고, 유계된 립시츠 활성화 함수 (Lipschitz activation functions)와 유계된 입력 가중치 (incoming weights)를 가진 신경망 (neural network)의 출력에 균일하게 가깝습니다. 우리는 이 세 가지 속성이 매개변수의 정량적 변화를 제외하면 동등함을 증명합니다. 홀로그래피 (holography)에서 다항식 구조 (polynomial structure)로의 함의는 하이퍼그래프 정규성 (hypergraph regularity)의 약한 버전의 변형을 사용합니다.