해(Solution) 데이터로부터 지배 방정식 복구하기: 선형 및 비선형 ODE에 대한 식별 가능성 경계

관측된 해(solution) 데이터로부터 지배 방정식(governing equations)을 학습하는 것은 과학적 머신러닝 (scientific machine learning) extcite{bruntonDiscoveringGoverningEquations2016,kovachkiNeuralOperatorLearning2023,longPDENetLearningPDEs2018,rudyDatadrivenDiscoveryPartial2017,raonicConvolutionalNeuralOperators2023} 분야의 근본적인 과제입니다. 그러나 여러 해 관측치로부터 정답 ODE (ground-truth ODE)를 유일하고 안정적으로 식별할 수 있는 이론적 조건은 여전히 미개발 상태로 남아 있으며, 이러한 학습 작업의 샘플 복잡도 (sample complexity)에 대한 정량적 분석 또한 문헌에 존재하지 않습니다. 이러한 공백을 메우기 위해, 우리는 미분 방정식(differential equations)을 비교하기 위한 자연스러운 메트릭 (metric)으로서 해 집합(solution sets)에 대한 하우스도르프 거리 (Hausdorff distance)를 도입합니다. 이는 모든 허용 가능한 초기 조건(initial conditions)에 대해 두 방정식 사이의 최악의 경우 분리(worst-case separation)를 포착하며, 따라서 식별 문제의 미니맥스 (minimax) 구조를 인코딩합니다. 우리는 선형 ODE (linear ODEs)부터 리프시츠 (Lipschitz) 또는 횔더 (Hölder) 연속 벡터장 (vector fields)을 갖는 비선형 클래스에 이르기까지 광범위한 구조 방정식 클래스에 걸쳐 지배 ODE (governing ODEs)에 대한 식별 가능성 경계 (identifiability bounds)를 설정하여, 두 개의 서로 다른 방정식이 해 데이터로부터 언제 구별될 수 있는지를 정확하게 규명합니다. 이 메트릭을 사용하여, 우리는 관련 ODE 클래스에 대한 메트릭 엔트로피 (metric entropy) 추정치를 도출하고 샘플 복잡도 경계를 분석함으로써, 지배 방정식을 신뢰성 있게 복구하기 위해 얼마나 많은 해 관측치가 필요한지를 정량화합니다.