텐서 곱 정제 반복의 정확한 ReLU 실현

우리는 R^2 위의 스칼라 이진 정제 연산자 (dyadic refinement operators) 를 연구합니다. 이는 (Vf)(x,y) = sum_{(j,k) in Z^2} c_{j,k} f(2x-j, 2y-k) 의 형태를 가지며, 여기서 유한 개의 마스크 계수 (mask coefficients) c_{j,k} 만 0이 아닙니다.

고정된 지지 윈도우 가설 (fixed support-window hypothesis) 하에서, 우리는 모든 컴팩트 지원 (compactly supported) 연속 조각선형 시드 함수 g:R^2->R 에 대해 정제 반복의 iterates V^n g 가 고정된 너비와 깊이 O(n) 의 정확한 ReLU 실현을 가진다고 증명합니다. 이는 정제 캐스케이드 (refinement cascades) 의 정확한 실현 이론에 대한 첫 번째 진정한 2 차원 확장을 제공합니다.

1 차원의 정확한 루프 컨트롤러 프레임워크 (one-dimensional exact loop-controller framework) 를 사용하여, 우리는 텐서 곱의 잔류 역학 (tensor-product residual dynamics) 을 두 다각형 루프의 곱에 정확히 전송하고, 나머지 시트 ambiguity 를 최종 읽기 및 선택자 단계로 줄입니다. 행렬 캐스케이드는 고정된 깊이의 재귀 블록으로 처리되며, 일반적인 컴팩트 지원 연속 조각선형 시드는 지지 윈도우에서의 정확한 클램프드 글루잉 (exact clamped gluing) 과 함께 유한 분해로 환원됩니다. 이는 텐서 곱 이진 경우를 루프 컨트롤러 방법을 위한 정제 iterates 의 자연스러운 다변량 첫 번째 예시임을 식별합니다.