조화 포텐셜 (Harmonic Potentials)에 의해 지배되는 3차원 경계값 문제(Boundary Value Problems)를 위한

우리는 해(solution)를 조화 포텐셜 (harmonic potentials)의 관점에서 표현할 수 있는 3차원 경계값 문제 (boundary value problems)의 해결을 위한 신경망 기반 프레임워크를 제시합니다. 이 접근 방식은 적절한 복소 변수 (complex variable)에 대해 정칙 (holomorphic)인 함수들을 통해 해를 표현할 수 있게 해주는 휘태커 적분 공식 (Whittaker integral formula)을 활용합니다. 이러한 함수들은 이후 정칙성 (holomorphicity) 요구 사항의 충족을 보장하는 정칙 신경망 (holomorphic neural networks)을 사용하여 근사됩니다. 제안된 공식화의 핵심 특징은 지배 편미분 방정식 (PDEs)이 구조적으로 정확하게 만족된다는 점입니다. 따라서 표준 물리 정보 신경망 (physics-informed neural networks, PINNs)과 달리, 도메인 내부에서 PDE의 잔차 최소화 (residual minimization)가 필요하지 않으며, 학습은 오로지 경계 콜로케이션 지점 (boundary collocation points)만을 기반으로 수행됩니다. 이 방법은 3차원 라플라스 (Laplace) 문제와 선형 탄성 (linear elasticity) 문제에 대해 검증되었으며, 후자의 경우 변위 (displacement) 및 응력 (stress) 장은 파포비치-뉴버 포텐셜 (Papkovich-Neuber potentials)을 통해 표현됩니다. 수치 결과는 스칼라 (scalar) 및 벡터 (vector) 장 모두에 대해 정확한 근사를 보여주며, 오차는 도메인 전체에서 제어된 상태를 유지합니다. 전반적으로, 본 연구는 신경망 구조에 분석적 구조 (analytical structures)를 통합하는 것이 지배 방정식의 기저 속성을 보존하면서 3차원 경계값 문제의 메시리스 (meshless) 근사를 위한 자연스럽고 효과적인 프레임워크를 제공함을 입증합니다.