조건부 독립, 베이지안 조건화(Bayesian conditioning), 그리고 Pearl의 d-separation 건전성에 대한 입방체

요약

확률 모나드 형식화에서 표준적인 볼록 대수 교환 공리가 완전한 베이지안 조건화를 지원하기에 부족함을 Cubical Agda를 통해 증명합니다. 이를 해결하기 위한 최소한의 일반화된 공리를 제시하며, Pearl의 d-separation 정리와 세미-그래포이드 공리 등을 대수적으로 검증합니다.

핵심 포인트

표준 볼록 대수 교환 공리의 베이지안 조건화 지원 한계 지적
Cubical Agda를 이용한 고차 귀납적 타입(HIT) 기반의 정밀 구현
베이즈 정리에 의해 연결된 별개의 베이지안 가중치 개념 도입
Pearl의 d-separation 및 do-calculus 규칙의 대수적 검증
확률 모나드가 마르코프 범주임을 구성적으로 증명

Stone 이후 확률 모나드 (probability-monad) 형식화에서 흔히 사용되는 표준적인 볼록 대수 교환 공리 (convex-algebra interchange axiom)는 완전한 베이지안 조건화 (Bayesian conditioning)를 지원하기에는 증명 가능할 정도로 너무 약합니다. 우리는 이를 Cubical Agda에서 정밀하게 구현합니다: 고차 귀납적 타입 (higher inductive type, HIT)으로서의 유한 분포, 커널 (kernels) 사이의 입방체 경로 (cubical path)로서의 조건부 독립 (conditional independence), 그리고 전체 지원 파편 (full-support fragment) 상의 전함수 (total function)로서의 재귀적 베이지안 조건화. 조건화를 전체 HIT로 들어 올리면 구조적 불일치가 드러납니다. 즉, 재배열된 4-잎 혼합 (4-leaf mix)의 두 절반은 표준 공리가 제공하는 단일한 공유 내부 가중치가 아니라, 베이즈 정리 (Bayes' formula)에 의해 서로 연결된 별개의 베이지안 가중치를 가집니다. 우리는 이를 해결하는 최소한의 일반화를 제시하며, 표준 형태가 두 내부 가중치가 일치하는 퇴화된 사례 (degenerate case)임을 증명합니다. 이 관찰을 바탕으로, 우리는 추상적인 순서체 (ordered-field) 인터페이스 이상의 어떠한 공리도 없이 대수적 맥락을 구성적으로 검증합니다: 결합 교환성 (bind commutativity), 4가지 세미-그래포이드 공리 (four semi-graphoid axioms), 교집합 (intersection, 양의 조건 없이 구조적 $Σ$-증거 (structural $Σ$-witnesses)를 통해 수축 (contraction)으로 축소됨), 커널 형태의 Pearl의 do-calculus 규칙 1, 2, 3, 유한 타입 베이지안 조건화, 그리고 개입적 (interventional) 및 베이지안 형태 모두에서 임의의 $n$-정점 유한 유향 비순환 그래프 (directed acyclic graphs, DAGs)에 대한 Pearl의 d-separation 정리 (건전성). 또한 확률 모나드가 마르코프 범주 (Markov category)임을 검증하며, 추상 인터페이스는 $Q$에서 해소됩니다.

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조건부 독립, 베이지안 조건화(Bayesian conditioning), 그리고 Pearl의 d-separation 건전성에 대한 입방체

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