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제한된 결맞는 양자 메모리 환경에서 스테빌라이저 상태의 테스팅 및 학습 복잡도를 연구한 논문입니다. 메모리 제약이 있을 경우 테스팅과 학습 사이의 복잡도 분리 현상이 사라짐을 수학적으로 입증했습니다.
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원문 바로가기우리는 제한된 결맞는 양자 메모리 (coherent quantum memory) 환경에서의 스테빌라이저 상태 (stabilizer state) 테스팅 및 학습을 연구합니다. 여기서 알고리즘은 미지의 $n$-큐비트 (n-qubit) 상태의 복사본을 순차적으로 받지만, 측정 사이의 결맞는 양자 메모리에는 오직 $k$개의 큐비트만을 유지할 수 있습니다. 메모리 제한이 없는 경우, Gross, Nezami 및 Walter의 선구적인 연구는 $Θ(n)$의 학습 복잡도와 달리, 차원과 무관하게 6개의 복사본을 사용하여 $n$-큐비트 스테빌라이저 상태를 테스팅하는 방법을 보여주었습니다. 우리는 이러한 테스팅과 학습 사이의 분리 (separation) 현상이 메모리 제약 하에서는 사라짐을 보여줍니다. 더 구체적으로 우리는 다음을 입증합니다: (1) $k$-큐비트 메모리 프레임워크에서 스테빌라이저 상태를 테스팅하는 샘플 복잡도 (sample complexity)는 $Θ(n-k)$입니다. 우리의 상한 (upper bound)은 숨겨진 이동 문제 (hidden shift problem)와의 새로운 연결을 통해 도출되었으며, 하한 (lower bound)은 확률적 직교 군 (stochastic orthogonal group)의 조합론을 통한 가능도 비 (likelihood ratios)의 평균 사례 경계 (average case bounds)에 대한 새로운 접근 방식을 사용하여 증명되었습니다. (2) 비적응형 (non-adaptive) 프레임워크에서 $k$개의 큐비트 메모리를 사용하여 스테빌라이저 상태를 학습하는 샘플 복잡도는 $Θ(n^2/k)$입니다. 우리의 기술을 추가로 응용하여, 프로토콜 전반에 걸쳐 메모리를 결맞게 유지할 수 있는 경우에도 순도 테스팅 (purity testing)에 대한 지수적 하한 (exponential lower bound)을 증명합니다. 우리의 주요 결과는 결맞는 양자 메모리가 스테빌라이저 테스팅과 학습 사이의 통상적인 분리를 가능하게 하는 자원임을 식별합니다. 특히, $k=0.99n$ 큐비트의 메모리가 있더라도 상수 개의 복사본을 사용하는 스테빌라이저 테스터는 존재하지 않습니다. 나아가 $k=cn$ 큐비트의 메모리($0 < c < 1$인 경우)에 대해 스테빌라이저 테스팅은 학습만큼 어려우며, 두 작업 모두 $Θ(n)$개의 복사본을 필요로 합니다.