저랭크 최적 수송에 대한 리만 기하학적 접근법

저랭크 최적 수송(OT)은 고전적인 솔버의 이차 스케일링 문제를 완화하지만, 기존 접근 방식들은 첫 번째 차수 미러-디센트 업데이트에 크게 의존하며 이는 세심한 하이퍼파라미터 튜닝을 요구하고 최적화 지형의 곡률을 무시합니다. 이러한 한계를 해결하기 위해, 우리는 저랭크 OT를 위한 통합된 리만 기하학적 프레임워크를 제안하며, 균형 잡힌(balanced) 및 불균형한(unbalanced) 랭크-$r$ 양수 인수분해 결합을 양의 정사면체(positive orthant)의 새로운 매끄러운 임베디드 부분 다양체로 모델링합니다. 이 다양체들에 피셔-라오 곱 거리를 부여함으로써, 우리는 리만 프로젝터(Riemannian projectors), 리트랙션(retractions), 그리고 헤세안-벡터 곱(Hessian-vector products)에 대한 다루기 쉬운 공식들을 도출합니다. 우리의 비용 비의존적(cost-agnostic) 프레임워크는 선형 OT, 그로모프-와서슈타인(Gromov-Wasserstein, GW), 융합된 GW, 그리고 이들의 불균형 대응물까지 원활하게 확장됩니다. 균형 잡힌 OT의 경우, 우리의 기하학적 요소들은 효율적인 공액 기울기(conjugate-gradient) 및 반복 브레그만 업데이트를 통해 계산됩니다. 불균형 OT의 경우, 우리의 연산들은 닫힌 형식 스케일링으로 우아하게 축소되어 내부 반복 루프를 완전히 제거합니다. 두 영역 모두에서, 반복당 복잡도는 데이터셋 크기에 선형적으로 비례하며, 우리는 전역 최적성 검증을 위한 랭크 충분성 증명서(rank-sufficiency certificate)를 제공합니다. 다양한 문제 크기에 걸친 광범위한 실험들은 우리의 정규화가 없는 첫 번째 및 두 번째 차수 솔버들이 기존의 최첨단 저랭크 OT 솔버들보다 더 빠른 수렴과 우수한 성능을 달성함을 입증합니다.