인공지능이 알려준 BCH 부호와 Goppa 부호의 성능 비교

BCH 부호 (BCH code)의 경우, "부호 길이 (n)와 설계 거리 ($\delta$)만으로는 차원 (k)을 일의적으로 결정할 수 없다"이므로, 보통은

• binary
• primitive
• narrow-sense BCH

를 전제로 합니다.

이 경우:

$$n = 2^m -1$$

이며,

• (n=15, 31, 63, 127)

이 "128 이하"의 대표적인 길이입니다.

binary primitive narrow-sense BCH 일 때,

설계 거리를 $\delta$라고 하면,

$$k \ge n - m t$$

단,

$$t = \left\lfloor \frac{\delta-1}{2} \right\rfloor$$

입니다.

실제로는 cyclotomic coset의 중복이 있으므로,

진정한 차원은 이보다 조금 더 커질 수 있습니다.

설계 거리 ($\delta$)	차원 (k)	부호화율 R=k/n
3	11	11/15=0.73
...
설계 거리 ($\delta$)	차원 (k)	부호화율 R=k/n
---	---	---
3	26	26/31=0.83
...
설계 거리 ($\delta$)	차원 (k)	부호화율 R=k/n
---	---	---
3	57	57/63=0.90
...
설계 거리 ($\delta$)	차원 (k)	부호화율 R=k/n
---	---	---
3	120	120/127=0.94
...

BCH의 primitive 길이는:

$n=2^m-1$

이므로 binary primitive BCH에서는 (128)이 직접 나오지 않습니다.

통상적으로는:

• (127)의 extended BCH
• shortening
• puncturing

으로 길이 128 근처를 만듭니다.

당신이 지금 신경 쓰고 있는:

• 최소 거리
• BCH와 Goppa의 차이

에서는,

BCH는:

• generator polynomial의 차수
• cyclotomic coset

으로부터 차원을 상당히 쉽게 파악할 수 있습니다.

반면 Goppa는:

• support
• Goppa polynomial

으로 결정되며,

BCH만큼 단순해 보이지 않습니다.

따라서:

BCH적 구조가 보이는 Goppa는 위험시되기 쉽다

라는 흐름이 됩니다.