위상 신경 연산자 (Topological Neural Operators)

우리는 세포 복합체 (cell complexes) 상에서의 연산자 학습 (operator learning)을 위한 원칙적인 프레임워크인 위상 신경 연산자 (Topological Neural Operators, TNOs)를 소개합니다. 이는 신경 연산자 (Neural Operators, NOs)를 점 (points) 및/또는 에지 (edges) 상의 함수에서 위상적 도메인 (topological domains)으로 확장합니다. TNOs는 데이터를 다양한 차원의 세포 (cells)에 정의된 특징 (features)으로 표현하며, 이산 외미분학 (Discrete Exterior Calculus)을 통해 상호작용을 모델링하여 기울기 (gradient), 회전 (curl), 발산 (divergence) 유형의 연산자를 통한 명시적인 차원 간 결합 (cross-dimensional coupling)을 가능하게 합니다. 핵심 설계 원칙은 고정된 위상 연산자에 의해 제어되는 정보의 흐름 위치와, 학습되는 정보의 변환 방식(how it is transformed)을 분리하는 것입니다. 이를 통해 물리량의 기하학적 지지체 (geometric support)를 존중하고 보존 (conservation) 및 호환성 (compatibility) 구조를 드러내는 모델을 생성합니다. 나아가 우리는 장거리 및 위상 의존적 정보를 전파하기 위해 학습된 거친 복합체 (coarse complexes)를 통합하는 계층적 TNOs (Hierarchical TNOs, HTNOs)를 제안합니다. 우리의 프레임워크는 기존의 NOs를 특수한 사례로 포함하며, 이산화 (discretizations) 전반에 걸친 연산자 학습에 대한 통합된 관점을 제공합니다. 불규칙한 기하학적 구조를 가진 유동 문제 (flow problems)를 포함한 다양한 PDE 벤치마크에서 TNOs와 HTNOs는 정확도를 향상시킵니다. 통제된 연구를 통해 고유한 고차원 (higher-rank) 및 위상적 구조의 이점을 추가로 입증하였습니다. 프로젝트 페이지: https://circle-group.github.io/research/TNO