비디오: 연구원들이 버그라고 생각했던 것 (Borwein integrals)
채널: 3Blue1Brown
길이: 17분 25초
출처: 자막 (수동, 영어)

전사:
때로는 우주가 그저 당신을 골탕 먹이고 있다는 느낌이 들 때가 있습니다. 지금 화면에 떠 있는 것은 일련의 계산 시퀀스(sequence)입니다. 걱정 마세요, 잠시 후에 각 계산이 실제로 무엇을 의미하는지 하나씩 풀어보고 시각화해 드릴 것입니다. 제가 여러분이 주목했으면 하는 점은, 이 시퀀스가 무작위해 보이지만 매우 예측 가능한 패턴을 따르고 있다는 것과, 각 계산 결과가 우연히 파이($\pi$)와 같다는 점입니다. 만약 여러분이 어떤 이유로 컴퓨터를 이용해 이 값들을 평가하며 놀고 있었다면, 이것이 영원히 계속될 패턴이라고 생각했을지도 모릅니다.

하지만 그렇지 않습니다. 어느 시점에 이 패턴은 멈추고, $\pi$와 같아지는 대신 $\pi$보다 아주, 아주 미세하게 작은 값을 얻게 됩니다. 좋습니다, 여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 자세히 파헤쳐 봅시다. 오늘 이야기의 주인공은 $x$ 분의 $\sin(x)$ 함수입니다. 이 함수는 수학과 공학에서 매우 흔하게 등장하기 때문에 sinc라는 별도의 이름이 붙어 있습니다. 이 함수를 생각하는 방법은 일반적인 진동하는 사인 곡선(sine curve)에서 시작하여, $1/x$를 곱함으로써 0에서 멀어질수록 곡선을 압축하는 방식이라고 이해할 수 있습니다.

그리고 눈썰미가 좋은 분들이라면 $x$가 0일 때 어떤 일이 일어나는지에 대해 질문할 수도 있습니다. 왜냐하면 그 값을 대입하면 0을 0으로 나누는 것처럼 보이기 때문입니다. 그리고 미적분학 (calculus) 수업을 막 마친, 훨씬 더 눈썰미가 좋은 분들이라면 0에 점점 가까워지는 값들에 대해 함수가 1에 점점 더 가까워진다는 점을 지적할 수도 있을 것입니다. 따라서 0에서의 sinc 함수를 단순히 1로 재정의한다면, 멋진 연속 곡선 (continuous curve)을 얻을 수 있습니다. 하지만 이 모든 것은 약간 옆길로 새는 이야기입니다. 왜냐하면 우리가 실제로 관심을 두는 것은 이 곡선을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분 (integral)하는 것이기 때문입니다. 이는 곡선과 $x$축 사이의 면적, 더 정확하게는 부호가 있는 면적 (signed area), 즉 그래프의 양의 부분에 의해 $x$축과 둘러싸인 모든 면적은 더하고, 그래프의 음의 부분과 $x$축에 의해 둘러싸인 모든 면적은 빼는 것을 의미한다고 생각하면 됩니다.

처음에 보았던 것처럼, 이것은 정확히 $\pi$로 계산되는데, 이는 멋지기도 하면서 동시에 약간 이상하기도 합니다. 그리고 일반적인 미적분학 도구들을 사용하여 이 문제에 어떻게 접근해야 할지는 완전히 명확하지 않습니다. 영상의 끝부분에서, 이를 어떻게 수행할 수 있는지에 대한 비결을 공유하겠습니다. 제가 처음에 시작했던 수열 (sequence)을 계속 진행하자면, 다음 단계는 sinc 함수의 복사본을 만드는 것이며, 여기에 $x$를 3으로 나눈 값을 대입합니다. 이는 기본적으로 동일한 그래프처럼 보이겠지만, 수평 방향으로 3배만큼 늘어난 형태가 될 것입니다.

이 두 함수를 곱하면, 질량이 중앙 쪽으로 더 집중된 것처럼 보이는 훨씬 더 복잡한 파형이 나타나며, 일반적인 함수라면 이로 인해 면적이 완전히 변할 것이라고 예상하게 됩니다. 적분을 이런 식으로 무작위로 수정하면서 아무것도 변하지 않을 것이라고 기대할 수는 없습니다. 따라서 이 결과가 여전히 $\pi$와 같다는 것, 즉 아무것도 변하지 않았다는 사실은 이미 조금 이상합니다. 이는 여러분의 목록에 추가해야 할 또 다른 미스터리입니다. 그리고 수열의 다음 단계는 sinc 함수를 5배만큼 더 늘어난 버전으로 만들고, 이를 우리가 이미 가지고 있는 값에 곱한 뒤, 다시 전체 곡선 아래의 부호가 있는 면적 (signed area)을 살펴보는 것이었는데, 이 역시 다시 $\pi$와 같았습니다.

그리고 이런 식으로 계속됩니다. 각 반복마다 새로운 홀수만큼 늘리고 이를 우리가 가진 값에 곱합니다. 여러분이 주목할 만한 한 가지는, 입력 $x=0$인 지점을 제외하고는 이 함수의 모든 부분이 점진적으로 1보다 작은 무언가에 의해 곱해지고 있다는 점입니다. 따라서 수열이 진행됨에 따라 상황이 점점 더 짓눌릴 것이라고 예상하게 될 것이며, 만약 무엇인가를 예상한다면 면적이 점점 작아질 것이라고 생각할 것입니다. 결국 실제로 그런 일이 일어나긴 하지만, 기이한 점은 매우 오랫동안 상태가 매우 안정적으로 유지된다는 것이며, 물론 더 관련성 있게는, 15라는 값에서 깨질 때조차 아주 아주 미세한 양만큼만 깨진다는 것입니다.

그리고 이것이 아마도 부동 소수점 산술 (floating-point arithmetic)을 사용하고 있기 때문에 발생하는 어떤 수치적 오류 (numerical error)의 결과라고 생각하기 전에, 더 정밀하게 계산해 본다면 마지막 적분의 정확한 값은 다음과 같습니다. 이는 분자와 분모가 터무니없이 큰 $\pi$의 특정 분수 값입니다. 둘 다 약 4000억의 10억의 10억 배 정도 됩니다. 이 패턴은 아버지와 아들인 Jonathan과 David Borwein에 의해 작성된 논문에서 설명되었는데, 이는 매우 흥미롭습니다. 그들은 동료 연구자가 컴퓨터 대수 시스템 (computer algebra system)을 사용하여 이 적분들을 계산할 때, 이것이 일종의 버그임이 틀림없다고 가정했다는 점을 언급했습니다.

하지만 이것은 버그가 아니라 실제 현상입니다. 그리고 사실 그보다 훨씬 더 기이합니다. 만약 우리가 이 모든 적분들에 또 다른 인자인 $2 ext{cos}(x)$를 포함시킨다면, 이 역시 적분 값을 완전히 바꿀 것이라고 생각하겠지만, 이 적분은 단순히 새로운 요소를 무작위로 곱한다고 해서 변하지 않습니다. 이 적분은 훨씬 더 오랫동안 $\pi$와 같은 값을 유지하며, $113$이라는 숫자에 도달해서야 비로소 깨집니다. 그리고 깨질 때조차, 상상할 수 있는 가장 미미하고 절대적으로 미묘한 양만큼만 차이가 납니다. 따라서 자연스러운 질문은 '도대체 여기서 무슨 일이 일어나고 있는 것인가?'입니다.

다행히도 이 모든 것에 대한 정말 만족스러운 설명이 존재합니다. 제가 이 문제를 다루는 방식은, 처음에는 완전히 관련이 없어 보이지만 $113$이라는 숫자에 도달할 때까지 값이 매우 안정적으로 유지되는 유사한 패턴을 보이는 현상을 먼저 보여드리는 것입니다. $15$라는 숫자에 도달하면 아주 미세하게 흔들리기 시작합니다. 그 후에 왜 이 겉보기에 무관해 보이는 현상이 사실은 우리의 모든 적분 표현식과 비밀리에 동일한 것인지(다만 변장하고 있을 뿐) 보여드리겠습니다. 따라서 완전히 달라 보이는 것에 주의를 돌려, 제가 $\text{rect}(x)$라고 부를 함수를 고려해 봅시다. 이 함수는 입력값이 $-1/2$와 $1/2$ 사이에 있으면 $1$이고, 그렇지 않으면 $0$이 되도록 정의됩니다.

따라서 이 함수는 기본적으로 지루한 계단 함수입니다. 이것은 우리가 정의할 함수 수열의 첫 번째가 될 것이므로 $f_1(x)$라고 부르겠습니다. 그리고 우리 수열의 각 새로운 함수는 이전 함수의 일종의 이동 평균 (moving average)이 될 것입니다. 예를 들어, 두 번째 반복(iteration)이 정의되는 방식은 너비가 $1/3$인 슬라이딩 윈도우 (sliding window)를 취하는 것입니다. 특정 입력 $x$에 대해, 윈도우가 해당 입력 $x$에 중심을 맞추고 있을 때, 아래에 그려진 새로운 함수의 값은 해당 윈도우 내에 있는 위의 첫 번째 함수의 평균값과 같도록 정의됩니다.

예를 들어, 윈도우 (window)가 충분히 왼쪽에 있을 때는 그 안의 모든 값이 0이므로, 아래의 그래프는 0을 나타냅니다. 그 윈도우가 고원 (plateau) 부분을 조금씩 지나가기 시작하면 평균값이 0보다 약간 커지게 되며, 아래 그래프에서 이를 확인할 수 있습니다. 그리고 윈도우의 정확히 절반이 1인 고원 위에 있고 나머지 절반이 0에 있을 때, 아래 그래프의 해당 값은 1/2이 된다는 점을 주목하십시오. 그러면 이해가 되실 겁니다. 제가 여러분이 집중해주길 바라는 중요한 점은, 모든 값이 1인 위의 고원 영역 안에 해당 윈도우가 완전히 들어가게 되면 평균값 또한 1이 되어, 아래에 있는 함수에서도 이와 같은 고원이 나타난다는 사실입니다.

이 아래쪽 함수를 $f_2(x)$라고 부릅시다. 여기서 제가 여러분이 생각해 보길 바라는 것은 이 두 번째 함수의 고원의 길이입니다. 그 길이는 어느 정도여야 할까요? 잠시 생각해보면, 위쪽 고원의 왼쪽 끝과 아래쪽 고원의 왼쪽 끝 사이의 거리는 정확히 윈도우 너비의 절반, 즉 1/3의 절반이 될 것입니다. 마찬가지로 오른쪽 측면에서도 고원 가장자리 사이의 거리는 윈도우 너비의 절반입니다. 따라서 전체적으로는 1에서 그 윈도우 너비를 뺀 값, 즉 1 - 1/3이 됩니다.

우리가 계산하게 될 값, 즉 무너지기 전까지 한동안 안정적으로 보일 값은 이 함수의 입력값 0에서의 값입니다. 이 두 번의 반복 (iteration) 과정 모두에서 이 값은 고원 내부에 있기 때문에 1과 같습니다. 다음 반복에서는 마지막 함수의 이동 평균 (moving average)을 구할 것인데, 이번에는 너비가 1/5인 윈도우를 사용합니다. 이 윈도우를 슬라이딩 시킴에 따라 이전 함수의 매끄러운 버전 (smoothed out version)을 얻게 된다는 점을 생각해보는 것도 흥미롭습니다. 다시 한번 말씀드리지만, 제가 여러분이 집중해주길 바라는 핵심적인 사항은 해당 윈도우가 이전 함수의 고원 안에 완전히 들어가 있을 때, 정의에 따라 아래쪽 함수는 1과 같아진다는 점입니다.

이번에는 하단 고원 (plateau)의 길이는 이전 것의 길이에서 1/3을 빼고, 다시 윈도우 너비인 1/5을 뺀 값이 될 것입니다. 그 이유는 이전과 동일합니다. 윈도우의 중앙이 상단 고원 위에 있는 지점에서 윈도우 전체가 해당 고원 안에 들어가는 지점까지 이동하는 데 필요한 거리는 윈도우 너비의 절반이며, 오른쪽 측면도 마찬가지입니다. 그리고 다시 한번 기록할 값은 입력값이 0일 때 이 함수의 출력값이며, 이 또한 정확히 1입니다. 다음 반복 (iteration)은 윈도우 너비가 1/7인 이동 평균 (moving average)입니다.

고원은 1/7만큼 작아집니다. 1/9로 한 번 더 반복하면, 고원은 그만큼 더 작아집니다. 그리고 계속 진행함에 따라 고원은 점점 더 얇아집니다. 또한 고원의 바로 바깥쪽에서 함수 값이 1에 매우 매우 가깝다는 점에도 주목하십시오. 왜냐하면 그 값은 항상 1인 고원과, 그 자체로 1에 매우 매우 가까운 이웃들 사이의 평균값이었기 때문입니다. 이 모든 것이 깨지는 지점은 1/15 너비의 윈도우를 전체에 걸쳐 슬라이딩하는 반복 단계에 도달했을 때입니다.

그 시점에서 이전의 고원은 실제로는 윈도우 자체보다 더 얇습니다. 따라서 입력값 $x=0$에서도 이 이동 평균은 1보다 아주 미세하게 작아질 수밖에 없습니다. 여기서 숫자 15가 특별한 유일한 이유는, 이 홀수 분수들의 역수들(1/3 + 1/5 + 1/7 ...)을 계속 더해 나갈 때, 1/15에 도달하는 순간 그 합이 1보다 커지기 때문입니다. 너비 1인 고원에서 시작한 우리의 수축하는 고원 맥락에서 보면, 이제 고원은 너무 많이 수축하여 완전히 사라지게 될 것입니다.

핵심은 우리가 겉보기에 무작위적인 절차로 정의한 함수들의 수열(sequence of functions)에서, 만약 여러분에게 이 모든 함수들의 입력값 0에서의 값을 계산해 보라고 요청한다면, 처음에는 안정적으로 보이는 패턴을 얻게 된다는 것입니다. 즉, 1 1 1 1 1 1 1과 같은 형태를 띠지만, 여덟 번째 반복(iteration)에 도달할 때쯤이면 아주 미세하게, 정말 간신히 미달하게 됩니다. 이는 우리가 앞서 보았던 적분(integrals)과 유사하며, 단순히 유사한 수준을 넘어 제가 주장하기로는 그 이상입니다. 그 적분들에서도 $\pi, \pi, \pi, \pi, \pi$와 같이 안정적인 값을 유지하다가 아주 미세하게 미달하게 되었기 때문입니다.

그리고 공교롭게도, 1보다 아주 미세하게 작은 우리의 이동 평균(moving average) 과정에서 나온 이 상수는, 적분 급수에서 $\pi$ 앞에 붙는 계수와 정확히 일치합니다. 따라서 이 두 상황은 질적으로 유사할 뿐만 아니라, 양적으로도 동일합니다. 그리고 적분 내부에 $2\cos(x)$ 항을 추가하여 패턴이 붕괴되기 전까지 훨씬 더 오래 지속되게 만들었던 경우를 살펴보면, 이 비유에서 그것은 동일한 설정이지만 우리가 시작하는 함수가 $x = -1$부터 $1$까지 뻗어 있는, 즉 길이가 2인 훨씬 더 긴 고원(plateau)을 가진 경우에 해당합니다.

따라서 여러분이 이 반복적인 이동 평균 과정을 수행하며 점점 더 작은 창(windows)으로 이를 깎아 나갈 때, 고원 전체를 깎아 먹는 데 훨씬 더 오랜 시간이 걸리게 됩니다. 더 구체적으로 말하자면, 관련된 계산은 이 합이 2보다 커질 때까지 홀수들의 역수(reciprocals of odd numbers)를 얼마나 오랫동안 더해야 하는지를 묻는 것입니다. 그리고 그 결과는 113이라는 숫자에 도달할 때까지 계속해야 한다는 것으로 밝혀졌으며, 이는 해당 적분 패턴이 113에 도달할 때까지 지속된다는 사실과 일치합니다. 참고로, 이 홀수들의 역수인 $1/3, 1/5, 1/7$ 등에 특별한 무언가가 있는 것은 아니라는 점을 강조하고 싶습니다.

그것은 단지 Borwein 형제들이 자신들의 논문에서 강조했던 값들의 수열이었을 뿐이며, 그 덕분에 이 수열이 너드(nerd) 커뮤니티에서 약간 유명해졌습니다. 더 일반적으로 말하자면, 우리는 저 sinc 함수들에 어떤 양수 수열이든 삽입할 수 있으며, 그 숫자들의 합이 1보다 작기만 하다면 우리의 식은 $\pi$와 같아질 것입니다. 하지만 그 합이 1보다 커지는 즉시, 우리의 식은 $\pi$보다 약간 작아집니다. 만약 당신이 이 이동 평균 (moving averages)과의 유사성이 존재한다는 제 말을 믿는다면, 왜 그런지 이해할 수 있을 것입니다.